Vorläufiger Abschluss meiner Arbeiten in Sachen Gleichkantigmachen von Near Misses. Unter anderem hatte ich mir vorgenommen die Familie der Johnson Near Misses zu behandeln. Ich konnte effektiv alle 31 ausser einem (die Nummer 24) gleichkantig machen.

Melinda Green hat sich anerboten, das Resultat auf ihrer Webseite zu präsentieren.

So sieht das aus:

https://superliminal.com/geometry/

https://superliminal.com/geometry/near_misses/index.html

Bei meinem aktuellen Hobby, kleine Polyeder mit wenig Fazetten, die nur fast richtig sind ( near misses ) und die erst seit wenigen Jahren bekannt sind, durch opfern von gleichmässigen Winkeln zu reparieren (gleichkantig zu machen), bin ich auf die Familie der Johnson Near Misses gestossen.

Die unter dem Namen Johnson bekannten Polyeder werden mit gleichmässigen Polygonen aufgebaut. Es gibt nur 92.

Ich kürze im folgenden Johnson Near Misses mit "NmJ" ab.

Die ganze Liste von 31 Elementen könnt Ihr hier sehen http://www.orchidpalms.com/polyhedra/acrohedra/nearmiss/jsmn.htm

Es ist nicht so, dass meine geplante Reparatur immer gelingen kann. Ich habe hier schon einmal von einem Fall berichtet, wo diese Reparatur nur teilweise gelingt und habe das auch begründet.

Jetzt zeige ich 6 neue gelungene Fälle (no 1,3,4,5,7,11) und einen (no 8), bei dem man den Nachweis erbringen kann, dass es nicht geht. Weiter zeige ich zwei Fälle (no 9 und 10), von denen ich sehr stark vermute, dass sie nicht gehen.

Unten "mehr lesen" drücken, um sie alle sehen zu können. Zuerst die 6 gelungenen und dann die 3, die nicht gehen.

Die gerechneten Koordinaten (off-Dateien) der raparierten NmJ sind hier verfügbar

http://baumanneduard.ch/NmJGKoffs.pdf

Jetzt im Spätherbst eine Bergtour ganz nahe bei meinem Wohnort und mit einer Routenanimation.

Hier

Ich habe noch zwei Polyeder mit wenig Seiten, deren Kanten nicht alle ganz gleich lang waren (NearMisses), durch Opfern von gleichmässigen Winkeln reparieren können.

Es sind zwei Acrohedron's, die Ecken haben, an denen  zwei Fünfecke und ein Viereck zusammenstossen, also vom Typ 554.  Variante A und Variante B.

Bei Variante A musste ich im Pentagon folgende von 108° abweichende Winkel einstellen: Scheitel 110.832°, Basis 105.722° und Seite 108.862°. Der spitze Winkel in der Raute ist 88.4357° (also kein Quadrat 90°).

Bei Variante B musste ich im Pentagon folgende von 108° abweichende Winkel einstellen: Scheitel 111.996°, Basis 109.209° und Seite 104.794°. Die Raute hat einen spitzen Winkel von 60°.

Jetzt sind es perfekte Gleichkanter. Weltneuheit.

Hier wird das erste Acrohedron Acro554A gezeigt.

Unter "mehr lesen" kann man auch das zweite Acrohedron sehen (Acro554B).

Bei der Nummer 7 (tripentagonal snub dodecahedron) habe ich schon mehrmals aus Mangel an Ausdauer aufgegeben.

Diesmal bin ich von den tetradrisch angeordneten Kappen aus je 3 nicht regelmässigen Pentagonen ausgegangen. Diese Pentagone müssen natürlich Lateralsymmetrie haben. Kennzeichnend ist der Scheitelwinkel, der eben von 108° abweicht. Es zeigte sich schnell, dass er etwas grösser sein muss, wenn die Gleichkantigkeit verbessert werden soll.

Neben dem Pentagonscheitelwinkel gamma habe ich noch zwei weitere Parameter im Modell. Die Distanz der Kappen voneinander sepa (wie Separation)  und der Verdrehungwinkel alfa. Verdrehung wie bei den Snubs.

Es erweist sich, dass eine gewisse Raute entweder nach der kleinen oder der grossen Diagonale einknicken kann. Das ist der entscheidende Moment. Gleichkantigkeit kann ENDGUELTIG nicht erreicht werden. Der Fehler kann nur von 0.04802 um ca 11%  auf 0.04261 reduziert werden!

Die optimalen Parameter sind

• gamma = 110.75°
• alfa = 42.4°  und
• sepa = 3.170

Bei sepa = 3.170 ist die Kappenspitze 1.941 von der Polyedermitte entfernt.

Meine zwei letzten Hikr-Berichte. 

Auf der Zuschauertribune zum Petit Muveran

Savo

Neben der Rotache jetzt der Zulgbach, Aarezuflüsse im Raume Thun.

Zulg

So etwas macht man nicht mit 77 Jahren. Doch, doch! Und es machte wirklich Spass.

https://www.hikr.org/tour/post156669.html

La via ferrata compte 216 mètres d’échelles, plus de 2000 mètres de câbles et requiert une très bonne condition physique. Elle s’étend au-dessus de Loèche-les-Bains sur les falaises majestueuses du Daubenhorn. Pour atteindre le sommet du Daubenhorn (2941 mètres d’altitude), 8 heures et 1000 mètres de dénivellation vous attendent.

Faulhorn

Artses

Lochtig

In die Nordwand hineinzoomen !

hier

Bergwandern mit Ilford seelig.

hier

Heute habe ich meinen langjährigen Traum wahr gemacht. Das ausnehmend schöne Matterhorn im Unterwallis, nämlich den Petit Muveran zu besteigen (mit kleinem Abstrich).

Bericht

Nan Ma aus Amerika hat mich auf TchiSla aufmerksam gemacht. Es ist eine App für Apple-Handys, die süchtig machen kann. Es geht darum eine gegebene Zahl mit lauter gleichen Ziffern aufzubauen (möglichst wenige), wobei nur die Operationen +, -, *, / , Wurzel, Fakultät und Juxtapposition  erlaubt sind. Ich zeige ein paar Juwelen.

Auf einer Internetplattform (PandaNet) hat der Go-Klub Fribourg gegen den Go-Klub von Rom gespielt. Die Begegnung wurde auf einem lokalen Fernsehsender ausführlich kommentiert.

Für die Präsentation der Lösungen unseres Wettbewerbs stellte ich mir Animationen vor. Solche mit CAD Programmen zu realisieren (wie Blender) ist nicht trivial. Da kam mir entgegen, dass es auf Internet Programme für virtuelle Origami (Faltkunst) gibt. Für die hier gezeigte Animation  konnte ich ein solches in Anspruch nehmen.

• das Hexa-Pyramiden-Kissen (Kooperation Tadeusz & ich) : Sieger,  Volumen 120 cm3
• mein Kissen von 1974, abgeändert durch Tadeusz,  Volumen 116 cm3
• mein Kissen von 1974,  Volumen 115 cm3
• eine Variante des Hexa-Pyr-Kissens (2),  Volumen 113 cm3

Tadeus Dorozinski aus Düsseldorf hatte die glänzende Idee, auf FaceBook zu einem Wettbewerb aufzurufen, der zu erstaunlich viel sehr verschiedenen Antworten führte. Es geht darum, aus einem quadratischen Stück Papier 12cm mal 12 cm nur durch Falten und Wegschneiden von Unerwünschtem ein Maximum von Volumen zu erreichen, wobei das Stück Papier nicht in zwei oder mehr Teile zerfallen darf. Ich zeige in den Bildern die eingereichten Vorschläge, geordnet nach abnehmendem Volumen. Die genauen Koordinaten können bei mir nachgefragt werden.

NearMisses, konvexe Polyeder mit lauter fast gleichlangen Kanten, dadurch korrigieren, dass von den immer gleichen Innenwinkeln in den Polygonen abgewichen wird, ist eine sehr interessante Aufgabe.

Das ist deshalb nicht trivial, weil bei n-eckigen Seiten des Polyeders mit n>3 diese n Ecken sehr leicht nicht mehr in einer Ebene liegen.

Ich arbeite jeweils in einer Exel Datei und formuliere die Aufgabe mit analytischer Geometrie derart, dass der exelinterne Solver mobilisiert werden kann.

Ich interessiere mich für „kleine“ NearMisses, d.h. solche mit wenig Fazetten.

Die Illustration zeigt die drei Parameter bei der Behandlung von NearMiss No 3.

Unten könnt Ihr drei erfolgreich transformierte Beispiele in Animation sehen.

• nm5
• nm6
• nm3

Die erste Liste von 11 NearMisses ist

1. 1_38-faces
2. 2_28-faces
3. 3_50_QTT4H3_w4
4. 4_68_-snub-exp tet dodecahedron
5. 5_32_QTT4H3_w4_redu
6. 6_26-curvy octahedroid
7. 7_tripentagonal snub dodecahedron_konvex-false
8. 8_68-faces
9. 74-near-miss
10.   10_16-c28w5
11.   7_40-P4-snub...

Liste von anderen Listen

MagicTile ist ein zum Spielen mit virtuellen rubikwürfelähnlichen "Farbverdrehern", das ich hier schon öfter präsentiert habe. Im Programm kann man über tausend verschiedene Spiele auswählen. Ueber die diesjährigen Feiertage habe ich mir ein besonders grosses Spiel ausgewählt, das noch nie jemand gelöst hat. Mit viel Geduld und grosser Disziplin war ich rund 30 Tage mit 2 Stunden pro Tag mit diesem Spiel beschäftigt und habe über eine Million Züge gemacht. Es hat 42 verschiedene Farben und 9 Typen von Teilchen, die alle "nach hause" gebracht werden müssen.

Bild mit einer Drehung 2mal

Bild mit den 9 Typen.

Zeitgeraffter Film  https://www.youtube.com/watch?v=nDYd7xdPRdE

Tadeusz Dorozinski hat folgende wunderschöne Spiraldeltaeder erfunden.

https://geometryka.wordpress.com/2019/09/

Dabei werden bei einem Doppeltetraeder zwei  benachbarte Dreiecke weggenommen, wodurch ein Art beweglicher Schnabel entsteht. Die Oeffnung dieses Schnabels kann man mit meiner Formel geeignet wählen, sodass die Schnäbel sich perfekt an den Antiprismenturm anschmiegen. Meine Formel ist folgende.

Der Schwandbach, ein Zufluss zum Schwarzwasser, mit Werner Straumann

Der Rüdigraben, ein Zufluss zur Aergera, allein.

https://www.hikr.org/tour/post146141.html

https://www.hikr.org/tour/post146459.html

Inverting Nearness = Die Nachbarschaftsverhältnisse umkehren. Was nahe ist, soll ferne sein und umgekehrt, auf einem Torus. Faszinierender Wettbewerb, bei dem etwa 300 Teilnehmer mitmachen und der bis Oktober dauert.

http://azspcs.com/Contest/Nearness

Am Bubo-OL-Mehrtägeler in Slowenien trug ich die Startnummer 277.

Natürlich habe ich sofort nachgeschaut, ob das eine Primzahl ist.

Es ist eine Primzahl und besser: es ist die 59. Primzahl und diese 59 ist auch eine Primzahl.

Wenn man diesen Prozess umkehrt, nämlich die n.te Primzahl nachsehen geht und mit ihrem Wert m die m.te Primzahl nachsehen, u.s.w., so entsteht eine Serie von ganzen Zahlen, wie sie in der Online Encyclopedy for Integer Series OEIS oft festgehalten wird.

Ich wollte sie dort eintragen und musste feststellen, dass 1965 schon ein anderer die Serie entdeckt hatte. Es ist A007097 und sie heisst „primth recurrence“.

https://oeis.org/draft/A007097

Achtung dieser Link geht nur mit dem Browser FireFox.

Ich habe nicht locker gelassen und eine andere Serie vorgeschlagen.

Es ist A309649 und sie heisst „Sieved primth recurrence“. Ich bin neugierig, ob der Vorschlag akzeptiert wird.

On the base of A007097 the "primeth recurrence" apply some sieve. Delete the elements of A007097 in the prime numbers and take the smallest prime left. Start a new primeth recurrence series with this number as starting element. Delete these new numbers from the primes. Retain all these smallest elements. The resulting series is 1 7 13 19 23 29 37 43 47 53 ... The next missing prime is 109.

First term a(1)=1 For the 2nd term: take all primes and delete the primes from the sequence A007097 : 1,2,3,5,11,31,127, .. This gives: 7,13,17,19, .. (1) The smallest term is 7. Our a(2)=7. Now construct an A07097 series with the starting term 7 instead of 1. The 7th prime is 17. The 17th prime is 59. the 59th prime is 277. The numbers to delete from series (1) are 7,17,59,277 .. This gives: 13,19,23,29,..  (2) The smallest term now is 13. Our a(3)=13. The next A00797 like series starting with 13 is the following. 13,41,179,.. which we delete from (2). This gives: 19,23,29,..  (3) The smallest term now is 19. Our a(4)=19. And so on.

https://oeis.org/draft/A309649

Achtung dieser Link geht nur mit dem Browser FireFox.

Mein Vorschlag ist akzeptiert worden. A309649 ist kein Draft mehr. Aber es hat sich herausgestellt, dass meine kompliziert entworfene Sequenz 1, 7, 13, 19 .. bis auf die ersten beiden Terme gleich ist der Sequenz A088982, der Primzahlen mit zusammengesetztem Index, 2, 7, 13, 19 .. oder gleich der Sequenz A007821, der Primzahlen, die zwischen den Primzahlen mit Primindex stehen, 7,13,19 ..

Ein „geblähtes“ Schneefeld?

Es war eine Rekognoszier-Bergtour mit dem Resultat. Zu schwer für eine ganze Gruppe. Für mich war es ein sehr schönes Erlebnis.

http://www.hikr.org/tour/post145209.html

In der Liberté wurde berichtet, dass man 22 spektakuläre Bäume im Kanton Fribourg ausgewählt habe.

Ich habe folgenden Link gefunden, in dem man beliebig zoomen kann.

https://map.geo.fr.ch/?DataTheme=&uniquelayer=https%3A//map.geo.fr.ch/arcgis/rest/services/PortailCarto/Theme_foret/MapServer/8

In der Folge habe ich alle 22 Bäume aufgesucht und photographiert. Begleitet hat mich Werner Straumann. Da gab es noch Herrn Pompini und Vincent Schouwey, die der gleichen Passion frönten.

Später in Slowenien in Lokve hat man mir weitere drei spektakuläre Bäume (über 40 m hoch) ans Herz gelegt, die ich auch photographieren gegangen bin.

Der Bubo-Mehrtage-OL in Lokve Slowenien.

Der OO-Cup in der Gegend von Bled in Slowenien.

Die Swiss-O-Week mit 6 Wettkämpfen in der Gegend von Gstaad.

Der Aargauer 3-Tägeler.

Mit Ausnahme des Aargauers kann man alle Karten bei Kurt Huber sehen, der in der gleichen Kategorie läuft wie ich (Herren 75).

http://kurthu.blogspot.com/2019/07/slowenien-tour.html

http://kurthu.blogspot.com/2019/08/sow.html

So verläuft die Divison 1 durch 7.

Das besondere ist, dass die Periode 142857 maximal lang ist. Alle Reste die die Division durch 7 lassen kann, tauchen auf.  Unter den Primzahlen gibt es nur ca 34%, die diese Eigenschaft haben "full reptend". Das muss man sich näher ansehen. Auf Deutsch heissen diese Primzahlen „lange“ Primzahlen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lange_Primzahl

Jitterbug war schon einmal ein Thema in diesem Blog hier.

Jetzt bin ich auf Ueli Wittorf gestossen, der gleich alt ist wie ich (Jahrgang 1943) und der die Jitterbug-Transformation verallgemeinert hat. Das ergibt bei ihm die faszinierenden Torsionspolyeder, einfach oder mehrfach belegt.

https://vimeo.com/207113479

https://vimeo.com/207078164

http://www.geometricdesign.ch/fileadmin/pdf/8_torsionskuboktaeder.pdf

http://www.geometricdesign.ch/fileadmin/pdf/9_stammbaum.pdf

Tadeusz Dorozinski in Duesseldorf hat herausgefunden, dass man mit bestimmten drachenförmigen Vierecken schöne selbstähnliche 8-zählige Rosetten zusammenbauen kann. Er kombiniert die Zeichnungen auch mit den entsprechenden dualen Rosetten (Voronoi-Zellen). Es treten in diesen Rosetten sehr schöne Spiralen auf, ähnlich den botanischen Spiralen, die wir in Sonnenblumen beobachten können. Er hat mich gefragt, ob ich ihm die genaue Formel dieser Spiralen herausfinden könnte. Das habe ich gerne gemacht. Für die Rosette mit den Drachen, die zwei opponierende Winkel von 150° und 105° haben und in der Skalierung, bei der eine Drachenspitze auf dem Punkt (x,y) = (0,1) liegt, hat die logarithmische Spirale in Polarkoordinate eine sehr einfache Form, nähmlich  r(w) = exp (-w/2 ), worin r der Radius und w der Winkel ist. Tadeusz hat auch eine Rosette mit einem anderem Drachen gebaut. Dieser hat zwei opponierende  Winkel von 135° und 90°. Hier lautet die Formel für die Spiralkurve wie folgt r(w) = exp (-0.68093*w ).

Wie die Farben des Wappens von Solothurn. Begegnet auf meiner Bergtour auf den Laitemaire on Chateau-d'Oex  http://www.hikr.org/tour/post144138.html

Es bleibt die 42. Das ist die ominöse Zahl, die im utopischen Roman "Hitchhikers Guide to the Galaxie" von Gard Jennings die Antwort auf die grösste Frage sein soll:

Deep Thought erklärt in der 42. Minute des Spielfilms die Zahl 42 als die errechnete Antwort auf die Frage „nach dem Leben, dem Universum und allem“ (“life, the universe and everything”).

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Per_Anhalter_durch_die_Galaxis_(Film)

Ausserhalb dieses Romans kann man der Zahl 42 folgende Bedeutung geben.
Wenn man alle maximal zweistelligen ganzen Zahlen, nämlich 0, 1, 2, ... 98, 99, als Summe von drei Kubikzahlen von ganzen Zahlen mit Vorzeichen schreiben will (ausser diejenigen, die bei Division durch 9 den Rest 4 oder 5 lassen, „ex“), so gelingt das heute nur noch mit 42 nicht !!!

Beispiele
1 = 1^3
2 = 1^3 + 1^3
3 = 1^3 + 1^3 + 1^3
29 = 3^3 + 1^3 + 1^3
Für die Zahl 33 wurde erst kürzlich eine Lösung gefunden. Es sind sehr sehr grosse ganze Zahlen dafür nötig.
33 = (8866128975287528)^3 + (-8778405442862239)^3 +(-2736111468807040)^3

ACHTUNG. Im September 2019 wurde eine Lösung für 42 gefunden !!!

42 = (-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3

Ich wollte auf dem Internet die Lösungen für alle Zahlen 1, 2, ... 99 (ausser 42) eruieren, was mir nicht gelang. Ich musste sie also selber ausfindig machen. Hier sind sie.

s = a^3 + b^3 +c^3,  “ex” die Ausnahmen.

Jeder kennt das Schiebespiel mit den 15 Zahlen und einem Loch.

Wenn man nicht in der Ebene bleibt, sondern auf eine Polyederflaeche geht und zusaetzlich eine zum Loch benachbarte Seite nicht ins Loch hineinschiebt sondern hineinklappt, bekommt man ein faszinierendes Spiel.

Man sorgt fuer den "Durchblick", indem man die Seiten durchloechert. Weiter zerlegt man den Rest der Seite in Stuecke parallel zu den Kanten.

Beim Hineinklappen ins Loch wird nur genau eines der Stuecke umgefaerbt. Dasjenige das an der Klappachse liegt.

Die animierte Illustration zeigt den Fall eines Wuerfels.

Der Spieleerfinder hat diese Idee fuer vier Polyeder angewendet. Den Wuerfel, das Dodekaeder, das Tetraeder und das unterteilte Tetraeder. Er nennt die vier Spiele CubeCap, DodecaCap, simpleTetraCap und TetraCap.

Ziel des Spieles ist es, alle Stuecke umzufaerben.

Diese Spiele sind erstaunlich schwierig und ich bezweifle, dass der Spieleerfinder das gewusst hat.

Ich habe jedes dieser vier Spiele im Detail analysiert und je eine Loesungsstrategie gefunden, indem ich das Spiel in einer Excel-Datei simuliert habe, wobei jedes Stueck eine individuelle Nummer bekam. Diese Stücke sind im Originalspiel anonym.

Der goldene Schnitt ist die Verhaeltniszahl 1.618 und taucht auf wundervolle Art an sehr viel total unterschiedlichen Stellen in der Mathematik auf. Es gibt viele Buecher nur fuer diese einzige Zahl. Wenn man bei einem Rechteck ein Quadrat abschneiden kann und das restliche Rechteck das gleiche Seitenverhaeltnis behaelt, ist dieses Rechteck golden.
In der Folge hat man auch andere Verhaeltniszahlen untersucht. Das "silberne" Verhaeltnis, das "Plastik"-Verhaeltnis, das "supergoldene" Verhaeltnis u. s. w.
Alle diese Zahlen kann man durch eine Gleichung definieren, von denen sie eine Loesung sind. Beispiel: x*x  = x + 1. Wenn ich hier fuer die Unbekannte x den Wert 1.618 einsetze stimmt die Gleichung. Es ist also die Gleichung zur goldenen Zahl.
Ich gehe jetzt von einer ganzen Familie von Gleichungen aus, die folgende Form haben. x^5 = x^4 + x^3 + x*x + x + 1. Dies kuerze ich ab zu g54321. Wenn ein Term fehlt, wird er in der Abkuerzung nicht erwaehnt. Beispiel: x*x = x + 1 ist g21.
Die Loesungen zu all diesen Gleichunge bekommen den gleichen Namen. Es sind die baumann'schen Zahlen. Die baumann'sche Zahl g21 ist die goldene Zahl.
Mit modern Symbolrechnerprogrammen wie Mathematica kann man alle diese Zahlen bequem herausfinden und mit beliebig viel Stellen nach dem Komma. Damit kann man auf SLOX Jagd gehen (self localising strings = s loc s = slocs = SLOX).

Unten ("mehr lesen") folgt eine Tabelle dieser SLOX (ohne gold, plastik und supergold weil anderswo publiziert).

Ein A4-Blatt ist uns allen wohlvertraut. Es ist 29 cm hoch und 21 cm breit. Es handelt sich um eine DIN Norm (deutscher Institut fuer Normen). Durch fortlaufendes Halbieren bleibt das Seitenlaengenverhaeltnis erhalten. Dazu muss dieses den Wert 0.7071.. haben. Es ist das Inverse der Wurzel aus 2. DIN Null erfuellt zusaetzlich die Bedingung, das es genau eine Flaeche von einem Quadratmeter hat.

Das alles spielt sich in der 2-dimensionalen Ebene ab. Heinrich Hemme hatte die Idee das Ganze fuer drei Dimensionen zu verallgemeinern. Das Blatt wird dann ein Quader (ein Backstein). Welche drei Ausdehnungen muss dieser haben, damit er seine Form nicht verliert, wenn man ihn halbiert? Nun es ist eins, dann das Inverse der dritten Wurzel aus 2, was 0.7937.. ist. Die kleinste Ausdehnungen ist dann noch das Quadrat dieser letzten Zahl, naemlich 0.6299.. Das Halbieren geht so: nimm die groesste Ausdehnungen und halbiere sie. Das wird dann die kleinste Ausdehnungen und die anderen zwei ruecken einen Platz nach oben.
Wenn man das Spiel auch fuer das 12-Dimensionale macht, muss man analog einen Verkuerzungsfaktor von zwoelfte Wurzel aus zwei anwenden, der das Inverse der zwoelfte Wurzel aus zwei ist! Das ist der Wert yyyy = 0.9438.. Also eins, dann yyyy, dann yyyy^2, dann yyyy^3 u.s.w. Halbieren geht wie oben: nimm die groesste Ausdehnungen und halbiere sie. Das wird dann die kleinste Ausdehnung und die anderen elf ruecken einen Platz nach oben.
Wenn man 440 Hertz als ersten Wert nimmt (das ist die Klangnote La) und den Verkuerzungsfaktor yyyy anwendet bekommt man Sol+ (Sol Kreuz). Das geht so weiter bis man bei La Kreuz und dann bei der zwoelften Verkuerzung bei 220 Hertz ankommt. Das ist das eine Oktave tiefere La.

Man kann also die 12 Ausdehnungen eines beim Halbieren die Form behaltenden 12-dimensionalen Quaders mit den 12 Halbtoenen einer Oktave beschriften!

Das ist Musik!

Siehe auch den Artikel von Heinrich Hemme hier 

„mehr lesen“ drücken!

Ich habe eine durchaus angenehme Erfahrung gemacht. Nachdem mir auf dem Auto meines Goldschmiedfreundes ein schlichtes Logo in Form eines Brillianten aufgefallen war, wollte ich die genaue Geometrie eines Brillianten in Erfahrung bringen und ihn virtuell funkeln lassen. Ich fand auf Internet tatsaechlich PovRay (ein Ray Tracing Programm) Code, der die 58 Facetten eines Brillianten beschreibt. Ich brauchte nur noch die Materialeigenschaft Glas anzugeben, die Kamera zu positionieren und Lichtquellen zu waehlen. Schon funkelte das Ding!

In diesem wunderbaren nicht enden wollenden Sommer sind wir noch auf die Tour d'Ai gestiegen und zwar vom Lac de Hongrin aus (Norden).

Hier der Bericht.

Jeder sollte wissen, dass man erst vor wenigen Jahren beweisen konnte, dass alle geographischen Karten mit nur 4 Farben gefärbt werden können (Vierfarbentheorem).

Ein anderes ähnliches Problem ist noch nicht gelöst.

Wieviele Farben braucht es, wenn man die unendlich ausgedehnte Ebene so anfärben will, dass zwei Punkte immer verschieden farbig sind, wenn die Distanz zwischen ihnen eins ist?

Es geht um die Color number of the plane (CNP).

In der Illustration wird gezeigt, dass diese Anzahl kleiner gleich 7 ist. Die Kachelung mit Sechsecken, deren Diagonale etwas kleiner ist als eins, hat nur 7 Farben und man erkennt, dass zwei beliebig gewählte Orte mit Distanz eins nie gleiche Farbe haben.

Der andere Teil der Illustration ist eine Moser-Spindel. Das ist ein sehr kleiner Graph mit Kanten der Länge eins, bei dem es 4 Farben braucht, um zu vermeiden dass zwei benachbarte Knoten die gleich Farbe haben.

Mit anderen Graphen, die aber viel komplizierter sind, hat man erst kürzlich beweisen können, dass es mindestens 5 Farben braucht. Zunächst hatte der Graph 1581 Knoten. Dann konnte man das auf 553 Knoten verbessern.

Die Frage bleibt also offen, ob die gesuchte Anzahl Farben 5, 6 oder 7 beträgt.

Es besteht der Verdacht, dass 78577 die kleinste Zahl k ist, die in der Formel k*2^n + 1 vor Primalitaet schuetzt (Sierpinski).

Von nur noch 17 kleineren Zahlen war noch kein n bekannt, das Primalitaet liefert. Jetzt sind es sogar nur noch 5.

Die internationale Organisation BOINC (PrimeGrid) erlaubt einem, hier mitzurechnen. Man bekommt ein Zahlenpaar (k,n) zugeordnet, fuer das man nachweisen muss, dass es zusammengesetzt (NICHT prim) ist. Dies geschieht mit dem Lukas-Lehner Test, der fuer diese bei n ungefahr 25 Millionen circa 7 Millionen Ziffern grosse Zahl (also ein ganzes Buch fuellend) etwa 20 Tage dauert. Ich persoenlich habe folgende 15 Paare (k,n) abgearbeitet.

   k               n

24737            25704631

55459            25703434

55459            25690486

24737            25639591

24737            25586623

55459            25586158

55459            25585066

55459            25507954

24737            25455391

55459            25455298

55459            25458394

55459            25381126

21181            25307132

24737            25303807

55459            25301638

Es bleiben noch Millionen andere n zu testen und die Menschheit kann nicht sicher sein, dass es ihr gelingt, fuer die 5 uebrig bleibenden k ein geeignetes n zu finden, das eine Primzahl liefert.

Es handelte sich um die Weltmeisterschaft für Senioren WMOC 2018-07-15

Am Tage des Sprints-Finals  in Kopenhagen erstieg ich auch den speziellen Turm der Frelser-Kirche mit der Wendeltreppe aussen.

Impressionen in den Bildern.

Vom 7. bis 13.Mai 2018 nahm ich an einem 5-Tage-OL im Tessin teil. Er wurde parallel zur Europameisterschaft durchgeführt. OL im Tessin ist immer sehr fein. Darunter war auch ein Sprintlauf im Dorf Tesserete, bei dem ich erst im nachhinein erfuhr, dass er als Schweizermeisterschaft gewertet wurde, was zur Folge hatte, dass ich unbekümmert eine Rekordanzahl von Punkten holen konnte. Am Ruhetag habe ich zum ersten mal in meinem Leben mit 75 Jahren Swiss Miniature besucht. Ich habe es sehr genossen.

Ich bin gerade zurück von einem schönen verlängerten Orientierungslauf-Weekend im bergigen Wallis.

Erste Etappe war auf dem Col des Planches. Die Zweite (ein sehr langer OL) auf dem benachbarten Col de Lein. Da fand gleichzeitig auch ein Kuh-Wettkampf statt! Am Sonntag liefen wir etwas oberhalb von Finhaut. Zum Teil sehr wildes Gelände mit riesigen Felsformationen.

Bachwandern kann wunderbar schön sein. Das habe ich erst jetzt (mit 75 Jahren) erfahren. Anlässlich der Circulissima von letztem Jahr ist dieses Projekt entstanden. Wir querten östlich von Schwarzenburg den Dorfbach auf einem sehr versteckten Steig. Von da aus konnte ich den weiteren Verlauf des Dorfbaches Richtung Osten erahnen. In einem grossen S-Mänder hat sich der Dorfbach in einem steilen Tobel nach Osten durchgegraben, um sich in das Schwarzwasser zu ergiessen. In diesem Tobel sind auf der 25000-er Karte keinerlei Wege eingetragen. Das hat mich gereizt. Das wollte ich erkundigen. Am Sonntag sind wir voller Sorge von unten her in das Tobel eingestiegen und wussten gar nicht wie weit wir kommen würden. Und dann kam die äusserst angenehme Ueberraschung, dass sich eine wunderschöne Bachwanderung von etwa 2 Stunden ergab. Die kleineren Bäche haben praktisch kein Geröll. Durch die häufigen Gewitter einer ganzen Woche war der geschliffene Sandstein wunderbar von allen Algen befreit. Ich habe Bilder auf die Hikr-Plattform gegeben.

http://www.hikr.org/tour/post132543.html

Ich habe hier die SLOX schon einmal eingeführt. Es sind sich selber lokalisierende Zahlenfolgen in einer Dezimaldarstellung. "Selflocalising strings". Beispiel die Ziffernfolge 1670 befindet sich an 1670 ter Stelle nach dem Komma in der Zahl Pi. Auf meiner ersten Jagt nach solchen SLOX hatte ich mir die Zahlen Pi, e, gamma, Phi unter anderem vorgenommen. Voraussetzung ist,  dass ich einen geschlossenen Ausdruck, eine Formel, für die Zahl habe. Dann kann ich nämlich im Programm Maple beliebig viel Stellen nach dem Komma bestellen. Wenn ich keine Formel, aber ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten habe und die interessierende Zahl eine Wurzel dieses Polynoms ist (d.h. den Polynomwert zu Null werden lässt), dann liefert Maple auch beliebig viele Stellen. Bei dem hier gezeigten Polyeder wurden mir 21 Polynome zugeschickt, von denen je eine Wurzel eine Zahl liefert, mit denen ich alle Koordinaten des Polyeders ausrechnen kann. In diesen 21 Zahlen habe ich ALLE SLOX gesucht, die kleiner als 10000 sind. Hier ist die Tabelle.

Die Boy-Fläche ist enorm attraktiv und von bildenden Künstlern oft aufgegriffen worden. Es gibt sehr viele Skulpturen auf der Welt. Wenn man mental ein Möbiusband und eine Scheibe dem Rand nach zusammennäht, bekommt man diese Fläche. Natürlich geht das nicht gut und es braucht Durchdringungen. Mit den modernen heutigen Mitteln (Computeranimationen) kann man dieses verdrehte Ding dem Publikum viel näher bringen.

Die Boy-Fläche ist aequivalent zur Projektiven Ebene. Heute kann man fast nicht mehr behaupten, dass das zur Allgemeinbildung gehört. Siehe hierzu folgendes: https://m.youtube.com/watch?v=mFC0qdrpip0

Neugierig gemacht? Auf dem Internet findet ihr jede Menge an Infos über die „Boy Surface“.

Seit laengerer Zeit schon beschaeftigt mich diese Idee. Natuerlich darf es der einfachste der Knoten sein, ein Kleeblattknoten. Ich stelle fest, dass diese Idee in allen Flugakkrobatikprogrammen und Wettbewerben nicht vorkommt. Natuerlich kommt auch ein Modellflugzeug in Frage. Oder sogar ein auf einem Rechner simuliertes Fliegen oder Modellfliegen. Zur Sichbarmachung waere ein Kondensstreifen oder eine Rauchfahne angenehm. Mental habe ich zuerst zwei vertikale Loopings ins Auge gefasst, die etwas gegeneinander verdreht sind. Das ergibt eine fluessige Bewegung. Als ich schlussendlich jemand motivieren konnte, geschah das in einer Sporthalle (Michel Gassmann in Schmitten), wo die Hallenhoehe die zwei Loops nicht erlaubte. Die Kombination einer horizontalen Oese, durch die dann vertikal mit einem Loop geflogen wurde, erwies sich am praktischsten. Diese Anlage eines Knotens kann dadurch gesteigert werden, dass die horizontale Oese zweifach geflogen wird. Dann ergibt sich der Torusknoten 5-1. Aequivalent dazu waere eine horizontale Oese und mehrfache Loops durch die Oese. Der Blickfang hier zeigt den Knoten mit einem Bergseil. Ich habe den Flug in der Sporthalle gefilmt und der Film kann hier https://youtu.be/aWor5SNS79g angesehen werden.

Vor etwa einer Woche habe ich meinen ersten SLOX zu Gesicht bekommen. Wisst Ihr, was da ist? Ein Self-LOCalising String, also SLOCS, modern geschrieben SLOX (String = Ziffernfolge). Es war ein besonders grosser : 79873884 (fast 80 Millionen). Er tritt in der Zahl Pi auf und zwar, wie es sich fuer einen Slox gehoert genau an der 79873884ten Stelle nach dem Komma. Die Slox sind nicht so haeufig. Obiger Slox ist nur der vierte in Pi. Die bisher bekannten Slox in Pi sind hier aufgelistet http://oeis.org/A057680. Mit einem kleinen Maple-Programm bin ich selber auf die Slox-Jagd gegangen. Ich habe andere Zahlen als Pi angschaut: e, gamma, die metallischen Konstanten gold, silber, bronze und plastic. Dann auch 3 Splits von Polygonen in gleichflaechige Stuecke T2, S3 und P2, bei denen ich ueber eine geschlossene Formel verfuege. Dito fuer 6 Zylinderschnitte 3, 4, 6, 6k, 7 und 10. Des weiteren habe ich die Slox in Pi im Oktal- statt im Dezimalsystem angeschaut. In den folgenden Bildern könnt Ihr meine Beute sehen (Drauf klicken zum Vergrössern).

Ich habe unheimlich viel Spass an diesem Mondglobus. Er wurde in 3D-Printing hergestellt. Ich habe das grösste Exemplar genommen. Ich kann sogar meine Lieblingstrukturen „Rupes recta“ und „Montes recti“ erkennen. Ich warte gespannt auf die Erhältlichkeit von einem entsprechenden Mars-Globus, einem Pluto-Globus und einem Enceladus-Globus. Der Verzicht auf irgendwelche Beschriftungen ist entscheidend. Die Idee das Profil zu invertieren, um die dunklen Mare durch Abschattung zu erzielen, ist genial.

https://www.youtube.com/watch?v=pxeJ8IqbuNw

Melinda Green lebt in Kalifornien und hat eine phantastische Erfindung gemacht. Zumindest fuer Eingeweihte. Es handelt sich um ein materielles Aequivalent des vierdimensionalen Rubikwuerfels mit Seitenlaenge zwei. Ein solches hatte man lange Zeit zu recht fuer unmoeglich gehalten. Es ging denn auch nur unter Zuhilfenahme von Magneten (die heute gut 10 mal staerker sind als noch vor 40 Jahren). Melinda ist Mitglied eines Internetforums "4D cubing" von Yahoo, bei dem ich auch mitmache. Sie hat mir die Nummer 1 einer kleinen Serie geschickt, die sie bei ShapeWays printen laesst und dann selber zusammenbaut. Entscheidend bei der Erfindung war, dass man beim unverdrehten Wuerfel nicht einen einfarbigen Wuerfel drehen laesst, der Nachbarfarben mitschleppt, sondern ein Oktaeder, das die gleichen 24 Drehungen hat wie der Wuerfel. Das Modell hat eine wunderbare Haptik. Ich zeige in der Illustration den 3-dimensionalen 2x2x2 Rubik und die Erfindung von Melinda. Unter "mehr lesen" folgt eine Bildschirmansicht des 4-dimensionalen 2x2x2x2 unter anderem. Ich erinnere daran, dass der Mathologer eine wunderbare Einfuehrung in den 3x3x3x3 gemacht hat hier. Melinda's Youtube ist hier.

Thomas Ulrich hat mir mit seiner Wiederholung der Direttissima die Idee gegeben, ebenfalls einen zu durchwandernden, 1 km breiten Korridor zu definieren. Ich habe einen Kreis mit Zentrum Fribourg und Radius 20 km gewählt. Wir haben 10 Etappen à  4h bis 5h gemacht (nicht am Stück). Etappe 1 Corbière-Mosettes, Etappe 2 Mosettes-Zollhaus, Etappe 3 Zollhaus-Riffenmatt, Etappe 4 Riffenmatt-Hängebrüggli, Etappe 5 Hängebrüggli -Schnurrimühle, Etappe 6 Schnurrimühli-Lugnorre, Etappe 7 Lugnorre - Grandcourt, Etappe 8 Grandcourt - LesMoulins, Etappe 9 LesMoulins - Liamont  und Etappe 10 Liamon-Corbière.  Hier ist ein Bericht mit Fotos:  http://www.hikr.org/tour/post127035.html

Es ist recht lange her, dass die Ausstellung "Phenomena" in Zürich stattgefunden hat (1984). Am besten mag ich mich ein Gestänge (die Kanten) eines hausgrossen Oktaeders erinnern. Das Gestänge war beweglich und konnte sich kontinuierlich zu den Kanten eines Kubooktaders verändern. Das Publikum konnte eine Hebebühne in der Mitte des Polyeders betreten. Die Transformation der Kanten ist nach Jitterbug benannt. Auf Youtube gibt es Animationen dazu. Tadeusz Dorozinski hat mich nach einer genauen Beschreibung dieser Jitterbug-Transformation in analytischer Geometrie gefragt. Ich habe sie mit Vergnügen ausgerechnet. Ich habe auch ein Modell aus Karton für die Jitterbug-Transormation.

Transformation 1

https://m.youtube.com/watch?v=HekEKdcw5_k

Transformation 2

https://m.youtube.com/watch?v=FfViCWntbDQ

Phaenomena 1984

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A4nomena

Die archimedischen Polyeder SnubWürfel und SnubDodekaeder sind meine Lieblingspolyeder. Mein Brieffreund Tadeusz Dorozinski ist mit dem Anliegen an mich herangetreten, sie wie folgt abzuändern. Statt für den SnubWürfel verkleinerte Quadrate in den Seiten eines Würfels so zu drehen, dass die sich auftuende Lücke mit gleichseitigen Dreiecken gefüllt werden kann, neu verkleinerte Achtecke zu nehmen. Es braucht dann einen anderen Drehwinkel (7.928°) und in den Würfelecken entstehen nicht gleichkantige Drachen. Ich nenne das neue Polyeder „Snub8“.

Auch beim SnubDodekaeder kann man statt der verkleinerten Fünfecke verkleinerte Zehnecke nehmen. Hier entsteht mit dem Drehwinkel (7.431°) das neue Polyeder „Snub10“.

Natürlich sind es händige Polyeder, was besonders reizvoll ist.

Diesmal ging es mit meinem Bruder Max und seinen zwei Töchtern Noemie und Jasmin zum Zwingherrenbogen.

http://www.hikr.org/tour/post126634.html

Wunderschöne Herbst-Bergtour oberhalb Brienz

http://www.hikr.org/tour/post126277.html

Mit "Piste et Montagne" von ex-Ilford in die Berge: Panossière-Hütte.

Hier der Bericht:

http://www.hikr.org/tour/post125092.html

Nach 47 Jahren bin ich auf den gleichen Berg zurückgekehrt. Im Mai 1970 machte ich es mit Skiern.

Jetzt war es eine schöne Sommertour. Siehe mein Bericht in http://www.hikr.org/tour/post124228.html

Zuerst gings für eine Woche nach Slowenien, wo wir ganz in der Nähe der Hauptstadt Ljubiljana in den Waeldern unterwegs waren.   Für mich ein prägendes Ereignis war, dass in der Schlussetappe ein Zweig mir die Brille abstreifte und ich diese nicht mehr finden konnte. Das Wiederbeschaffen einer Brille in den Optikergeschaeften von Ljubiljana war dann ein besonderes Abenteuer. Es ist heutzutage nicht leicht, ein Geschaeft zu finden, das Rohlinsen an Lager hat. Nur so kann man probieren und die Brille nach Anfertigung gleich mitnehmen. In der Zweiten Woche zog ich weiter nach Kroatien auf die Insel Cres. Obschon die beiden Länder benachbart sind, gab es nur auf Cres richtiges, heisses Mittelmeer-Ambiente. Eine Woche drauf nahm ich am Aargauer Dreitage-OL teil, der erstaunlicherweise drei schoene Läufe fast ohne gefürchtete Dornen anbieten konnte (Wettkampfzentrum in Vordemwald!). Beim OL sind natürlich nicht Postkarten sondern OL Karten die wertvollsten Erinnerungsstücke. Weil Kurt Huber in der gleichen Kategorie läuft wie ich, kann ich auf seine Berichte verweisen mit Karten in guter Auflösung (drauf klicken und zoomen!).

http://kurthu.blogspot.ch/2017/08/slowenienkroatien-tour.html

http://kurthu.blogspot.ch/2017/08/aargauer-3-tage-ol.html

Polyeder mit gleichlangen Kanten beschäftigen mich weiterhin. In der Juni Nummer 2017 des Spektrum der Wissenschaft präsentiert Christoph Pöppe "unsere" Wunderwelt der Gleichkanter http://www.spektrum.de/magazin/wunderwelt-der-gleichkantigen-polyeder/1453313. Im Moment haben wir einen Wettbewerb laufen, der für alle Gleichkanter mit weniger als 123 Flächen jeweils den rundesten Kandidaten sucht. Den Stand der Dinge kann man jederzeit auf http://www.baumanneduard.ch/Galerie.pdf ansehen gehen.

Gestern war ich wieder einmal mit Ehemaligen von Ilford in den Bergen unterwegs. Wir waren zu fünft. Das Wetter war mit von der Partie und wir konnten die Wanderung vom 13 km mit 800m Höhenmeter rauf und dann wieder runter geniessen. Mit den Pausen waren wir 7h unterwegs. Hier könnt Ihr meinen Bericht lesen (mit viel Blumen natürlich)..

Schöne Wanderung im Justistal am Thunersee. http://www.hikr.org/tour/post121659.html

Es gibt da eine zu unrecht verkannte Sehenswürdigkeit im Raume Fribourg. Ich bin in diesem Raume geboren und habe immer da gelebt. Ich musste 73 jährig werden bevor ich von ihr erfuhr! Es handelt sich um eine sehr alte Brücke und sie liegt an einem sehr verwunschenen Ort.

Ich habe angefangen, mich für runde Polyeder zu interessieren. Zuerst geschah dies im Rahmen derjenigen Polyeder, die genau 100 Fazetten haben. Jetzt führe ich eine Tabelle mit dem rundesten Polyeder für jede Anzahl n Fazetten (bis n=122 nur). Als Kriterium für die Rundheit nehme ich den isoperimetrischen Wert r = 36*Pi*Oberläche^3/Volumen^2. Er hat den Wert 1 für die Kugel. Man kann in einer zweiten Tabelle auch nur Polyeder betrachten, die alle gleich lange Kanten haben. Andere Leute haben sich darum bemüht, eine Kugel mit n möglichst kleinen gleichgrossen Kreisen vollständig zu überdecken. Diese „spherical coverings“ kann man nun herbeiziehen (siehe Blickfang links), um sehr runde Polyeder herzustellen. Man nimmt die publizierten Zentren der Kreise der „spherical coverings“ als Polyederecken und geht zum dualen Polyeder über. Und siehe da. Die Rundheit r dieser Polyeder folgt sehr eng der erstaunlich einfachen Beziehung „r = 1 – 3/n“. Das war eine grosse Ueberraschung für mich.

Vielleicht lässt sich da etwas beweisen.

Auch die Simulationen mit n elektrischen Ladungen auf der Kugel lassen sich hier heranziehen.

Kürzlich ist wieder ein ca 3 monatiger Wettbewerb von Al Zimmerman gestartet worden „Polygonal Areas“. Auf Bild klicken, um es besser lesen zu können.

Es sind wie üblich 25 Aufgaben zu lösen, wovon man die kleinste Aufgabe (5x5) sehr wohl „von Hand“ auf kariertem Papier machen kann. Probiert’s mal. Da fällt kein Zacken aus der Krone.

http://azspcs.com/Contest/PolygonalAreas

Seit laengerer Zeit steht ein Kartonmodell eines nicht konvexen Polyeders in meiner Bibliothek, das durch lauter Dreiecke begrenzt ist und trotzdem beweglich ist. Das hielt man sehr lange fuer unmoeglich. Das Polyeder "atmet" aber nicht, das heisst, es veraendert sein Volumen nicht, wenn es sich bewegt. Dies konnte man erst in neuerer Zeit beweisen fuer alle beweglichen Polyeder mit lauter Dreiecken.

Siehe auch: http://www.spektrum.de/magazin/flexible-polyeder-und-die-blasebalg-vermutung/825477

Hier ein mein Youtube der Wolfram Demo, wo sich die Volumenangabe (laufende Berechnung) nicht veraendert.  https://youtu.be/2JeG2r17kD0

Der Beweis erfolgt ueber die Formel des Volumens, die nur von den Kantenlaengen abhaengt.

Und hier eine pdf-Datei des Beweises (mal hineinschauen!):

https://www.math.ucdavis.edu/~deloera/MISC/BIBLIOTECA/trunk/Connelly/Connelly3.pdf

Wir passen uns an. Die Schweiz ohne Gletscher nach der Klimaerwärmung. Hier mein Bericht auf Hikr: http://www.hikr.org/tour/post115322.html

Meine Leibspeise ist MagicTile, wie Ihr alle wisst. Burkard Polster, aka Mathologer, hat vor ein paar Monaten den 4D-Rubik-Würfel präsentiert, mit einem enormen Erfolg.

Jetzt hat er zwei Videos für MagicTile gemacht. Seht sie Euch an!

https://youtu.be/DvZnh7-nslo

https://youtu.be/iOla7WPfCvA

Es hat immer noch zwei Plätze (von hundert) frei im Mathologer Wettbewerb.

Das Gemsgrätli der Nünenenfluh war jetzt mehrere Jahre auf meiner Agendaliste.

Gestern, fast im November, hat es bei schönen Bedingungen geklappt. Ich bin sehr zufrieden. Meinen Bericht kann man hier einsehen.

Auf einer Wanderung mit den Pensionierten der Ilford entlang von zwei Bissen oberhalb Sion (Bisse de Lentine – Bisse de Mont d’Orge) konnte ich auf dem Mont d’Orge einem phänomenalen Schauspiel beiwohnen: eine Gottesanbeterin verspeist eine kaum kleinere Heuschrecke. Sie liess sich überhaupt nicht ablenken, als ich mich niederkniete und aus 10 cm Distanz zuschaute. Sie hat einen ungemein beweglichen Kopf. Während der ganzen ca 20 minütigen Beobachtung vollführte die Heuschrecke mehrmals einen Sprung von ca 20 cm und nahm die Anbeterin jeweils mit. Sehr eindrücklich! Das Bild hat Yves Tricot gemacht mit einem sehr potenten Teleobjektiv und bei praller Sonne.

Nach einem Klettersteig habe ich einen phantastisch schöner Käfer angetroffen.

http://www.hikr.org/tour/post112710.html

Olympische Ringe hat es fünf. Im offiziellen Rio-Logo (siehe unten unter „mehr lesen“) ist die Zahl 5 nur schwer zu erkennen. Wenn ich den entsprechenden Graphen erstellen, dann ergeben sich 3 Knoten (ein 4-wertiger und zwei 3-wertige) sowie 5 Kanten. Mit der Eulerformel kann man auf 4 Flächen schliessen. Ich habe den Graphen möglichst symmetrisch auf eine Kugel gebracht und zusätzlich gefordert, dass die Zweiecke halb so gross sind wie die Dreiecke. Das ergibt die animierte Stereodarstellung oben (crossed eyes). Ein Zweieck ist transparent gestaltet. Die Fläche der Zweiecke wäre nur per Integration berechenbar, weil sie auch durch einen Breitenkreis begrenzt sind (der kein Grosskreis ist). Enrico Bernal hat mich aber auf einen Trick aufmerksam gemacht. Die Fläche eines Kugelsegmentes (eine Haube, eine Kappe) hat eine einfache Formel! Davon kann man leicht einen Sektor berechnen. Und von diesem kann man ein sphärisches Dreieck abziehen PEDCP (!), um zur gewünschten Fläche zu gelangen. In der Darstellung unten unter „mehr lesen“ ist die rot-gelbe Fläche eine Hälfte des blauen Zweieckes in der Animation oben.

Es ist nicht leicht zu wissen, was das ist, wenn man es noch nie benutzt hat: das „Loch“ eines Frisbi-Golf-Parcours! Angetroffen habe ich das in Estland bei der Orientierungslauf Weltmeisterschaft für Senioren WMOC 2016. Das andere senkrecht stehende Gebilde, das ich noch nie gesehen hatte, war der Hain-Wachtelweizen.

Unten sind zwei Bilder davon angehängt (auf "mehr lesen" drücken!)

https://de.wikipedia.org/wiki/Hain-Wachtelweizen

Video’s von der WMOC 2016:

https://www.youtube.com/watch?v=sRyqk9Qp6sM

https://www.youtube.com/watch?v=BgUIFvFfK3Y

https://www.youtube.com/watch?v=vqWhpZdT8og 

https://www.youtube.com/watch?v=_NMHfFFub8w

Mitten in den 6 Tagen Orientierungslauf im Engadin SOW 2016 gab es einen Ruhetag, den ich dem Badile gewidmet habe, dessen Nordgrat eine meiner schönsten Touren ist (1200m in bestem Felsen).

 http://www.hikr.org/tour/post109969.html

OL Impressionen: Etappe 1, Etappe 2, Etappe 3, Etappe 4, Etappe 5 und Etappe 6.

Polyeder mit lauter gleich langen Kanten sind ein Hobby von mir. Nachdem ich unter ihnen diejenigen mit genau 100 Flächen untersucht habe (Hektoeder), interessiere ich mich hier auch für diejenigen, bei denen Volumen und Oberfläche gleich gross sind (natürlich in der Skalierung, wo die Kantenlänge eins beträgt). Ich nenne sie GleKOV’s (Gleichkanter mit Oberfläche = Volumen). Ich zeige eine Liste von 16 Glekovs. Die Autoren sind Enrico Bernal, Tadeusz Dorozinski und ich. Zwei Glekovs sind gleich zweimal entdeckt worden (No 08 = No 05 und NO 12 = No 06). 

Das Interesse meines Enkels Rayan für MagicTile hält sich noch in Grenzen. Es ist nicht das erste mal, dass ich MagicTile hier erwähne. Es ist ein mich immer noch faszinierendes Programm für virtuelles Tüfteln à la Rubik. Nach über 400 Fällen und einer grösseren Pause habe ich jetzt die Familie der Super Chops angefangen. Ich zeige Bilder vom Fall „Super Chop octahedron“. Es werden die drei Bewegungsarten und wichtige Makro’s gezeigt, die ich bauen musste.

Der heutige AZ Contest „Non coplanar points“ betrifft Punkte, die nicht in der gleichen Ebene liegen dürfen.

In der Illustration liegen die  gelben Punkte gemeinsam in der gleichen Ebene, die blauen hingegen nicht. Die Illustration zeigt auch, dass nur die Gitterschnittpunkte betrachtet werden, also Punkte mit ganzzahligen Koordinaten. Beim Contest muss man für alle Würfel mit Kantenlängen, die prim und kleiner als 100 sind (das sind 25 Fälle), möglichst viele Punkte auflisten, von denen nie 4 in einer gleichen Ebene liegen.

http://www.azspcs.net/Contest/Tetrahedra

Die Liste 3,5,6,8 erzeugt 17 verschiedene Elemente durch paarweises Addieren oder Multiplizieren.

Finde eine bessere Liste von 4 Ganzzahlen, die möglichst wenig verschiedene Element erzeugt.

Diese Aufgabe ist für Listen der Länge 40, 80, .. bis 1000 zu lösen.

Das ist der Al Zimmerman Contest "Sums&Products I"  

Es gab eine Variante zum Al Zimmerman Contest "Sums&Products I“, nämlich „Sums&Products II“, bei dem fast alles gleich war wie im ersten Contest, ausser dass nicht möglichst wenig verschiedene Element  erzeugt werden sondern dass kein Element doppelt auftreten durfte.

http://www.azspcs.net/Contest/SumsAndProducts2

In der Abbildung seht Ihr meine zwei neuesten Anschaffungen. Der weisse Ghostcube ist ein sehr spezieller Rubikwürfel. Die Drehachsen sind nicht senkrecht zu den Seiten sondern gehen durch die Ecken oder Kantenmitten! Weiter sind die Drehmöglichkeiten massiv durch die vorausgehenden Drehungen bedingt. Alle 26 Teile sind voneinander verschieden, nicht in Farbe sondern in Form. Beim Rubik-Sudoku II haben wir den normalen Rubik-Mechanismus nur sind die Kanten- und Eckenelemente nicht mehr mehrfarbig und müssen deshalb nicht an Ort und Stelle orientiert werden. Dafür ist es viel schwieriger zu wissen wohin ein Teil (Kugel) gehen muss, denn das Ziel ist nicht Einfarbigkeit der 6 Seiten, sondern auf jeder Seite müssen 9 verschiedene Farben auftreten (wie im Sudoku).

Die Liste 3,5,6,8 erzeugt 17 verschiedene Elemente durch paarweises Addieren oder Multiplizieren.

Finde eine bessere Liste von 4 Ganzzahlen, die möglichst wenig verschiedene Element erzeugt.

Diese Aufgabe ist für Listen der Länge 40, 80, .. Bis 1000 zu lösen.

Das ist der Al Zimmerman Contest "Sums&Products I"  2015/2016. Siehe auch:

http://www.azspcs.net/Contest/SumsAndProducts1

http://www.azspcs.net/Contest/SumsAndProducts1/Standings  

Mein Rang: 103. von 371

„EZ unlink“ ist ein Puzzle (Denksportspiel) aus Metall. Es besteht aus 4 verschlungenen Dreiecken mit teilweise ausgefülltem Inneren. Es gilt die Dreiecke auseinanderzunehmen und dann wieder zusammenzufügen. Mich hat aber vor allem die regelmässige Anordnung der Dreiecke im Raum interessiert. Es stellt sich heraus, dass die 12 Ecken der 4 Dreiecke auch (geschickt ausgewählte) Ecken eines Kubooktaeders sind !! In den folgenden Bildern seht Ihr ein Kubookateder (Würfel mit abgestumpften Ecken), die erstaunlich einfachen Koordinaten (lauter Einsen) für EZ-unlink, eine Darstellung mit Mapple und die Berechnung des Jones-Polynoms dieser Verschlingung in Mathematika.

Dieses Spiel hat viele Namen: Fünfzehnerspiel, 15-Puzzle, 14-15-Puzzle, Boss Puzzle, Schiebepuzzle, Schieberätsel Schiebefax oder Ohne-Fleiß-kein-Preis-Spiel. Im geordneten Zustand hat es ein Schachbrettmuster in rot und weiss. Man kann nun nach demjenigen Spziergang des Loches unten rechts fragen, der möglichst viele verschiedene Polyomino-Muster hinterlässt. Jeder kennt den Domino-Stein. Es sind zwei aneinander geklebte Quadrate. Ein Triomino hat drei aneinander geklebte Quadrate (es gibt nur zwei Formen: das gestreckte und das abgewinkelte). Eine Polyomino hat beliebig viele Quadrate. Diese Aufgabe zu lösen nicht nur für den Fall 4x4, sondern auch für 5x5 bis 23x23, ist der Inhalt des „Poor man contests Sli-Polyo“. Link: http://pmpc.neocities.org/ . Das spezielle an diesem Contest ist, dass er auf einer (international) geteilten Excel-Datei stattfindet. Es folgen zwei Bilder dazu.

Ich hatte schon ein längere Zeit etwa 10 Metall Puzzles. Das sind zum Teil recht schöne zusammengesetzte kleine Skulpturen aus Metall, die man nur sehr trickreich auseinander nehmen kann. Eine reiche Auswahl dieser Puzzles findet man eher auf dem Internet als im Spielwarengeschäft, weil anforderungsreiches zu lange im Regal bleiben würde. Jetzt habe ich eine grössere Menge (etwa 30) solcher Puzzles in Amerika bestellt, sodass ich bereit eine kleine Sammlung habe. Sie sind noch nicht alle ausgepackt! Die schwierigeren Puzzles sind auch mit ausführlicher Anleitung in einem Youtube Film gar nicht leicht zum Auseinandernehmen. Es stellt sich die interessante Frage, wie so eine Anleitung zu gestalten ist, damit die Information ankommt. Kamera und die fingerfertigen Hände kommen einander in die Quere.

Mit "Piste et Montagne" von der Ex-Ilford unterwegs: http://www.hikr.org/tour/post99903.html

Rendez-vous mit dem Alpensalamander

http://www.hikr.org/tour/post99281.html

Weit weg von der Westschweiz: der Alpstein

hier

In einigen der bisher gezeigten Raumfüllungen mit konvexen Gleichkantern kann man gewisse Polyeder WEITER UNTERTEILEN in konvexe Gleichkanter. Das zeige ich hier.

tT = T + O

tC = T + C + J4

tO = O + P8 +J1 + J3

rCO = J4 + P8

tCO = C + rCO + J3 + J4

Letztes Wochenende genoss ich eine wunderschöne Zweitages-Bergtour westlich von Chamonix.

Hier kommt  das dritte Paket von lückenlosen Raumfüllungen mit den Nummern 31 bis 44.

Ich habe schon in die Thematik des „Lückenloses füllen des Raumes mit konvexen Polyedern“ eingeführt. http://edu1618.jimdo.com/2015/06/14/3d-fill/

Mein Anliegen ist es, diese Füllungen mit möglichst wenigen Polyedern und animiert darzustellen. Damals hatte ich 15 Stück aus dem Internet zusammengesucht. Jetzt sind zusammen mit Enrico Bernal aus Stuttgart und Tadeusz Dorozinski aus Düsseldorf weitere 30 dazu gekommen. Hier folgt das Paket mit den Nummern 16 bis 30.

"mehr lesen" drücken, um alle 15 zu sehen.

Vom 14.8. bis 16.8.2015 war ich im Aargau an einem 3-Tage-OL

http://www.3days.ch/willkommen

Vom 1.8. bis 8.8.2015 war ich in Schottland an einem 6-Tage-OL für das Publikum zur normalen OL-Weltmeisterschaft. Die Staffel haben die Däninen gewonnen. Bei den Herren waren es die Schweizer. Wir logierten in Nairn in der Nähe von Inverness. Das Linksfahren mit dem Mietauto war etwas besonderes.

http://www.scottish6days.com/2015