NearMisses, konvexe Polyeder mit lauter fast gleichlangen Kanten, dadurch korrigieren, das von den immer gleichen Innenwinkeln in den Polygonen abgewichen wird, ist eine sehr interessante Aufgabe.

Das ist deshalb nicht trivial, weil bei n-eckigen Seiten des Polyeders mit n>3 diese n Ecken sehr leicht nicht mehr in einer Ebene liegen.

Ich arbeite jeweils in einer Exel Datei und formuliere die Aufgabe mit analytischer Geometrie derart, dass der exelinterne Solver mobilisiert werden kann.

Ich interessiere mich für „kleine“ NearMisses, d.h. solche mit wenig Fazetten.

Die Illustration zeigt die drei Parameter bei der Behandlung von NearMiss No 3.

Unten könnt Ihr drei erfolgreich transformierte Beispiele in Animation sehen.

• nm5
• nm6
• nm3

Die erste Liste von 11 NearMisses ist

1. 1_38-faces
2. 2_28-faces
3. 3_50_QTT4H3_w4
4. 4_68_-snub-exp tet dodecahedron
5. 5_32_QTT4H3_w4_redu
6. 6_26-curvy octahedroid
7. 7_tripentagonal snub dodecahedron_konvex-false
8. 8_68-faces
9. 74-near-miss
10.   10_16-c28w5
11.   7_40-P4-snub...

Liste von anderen Listen

MagicTile ist ein zum Spielen mit virtuellen rubikwürfelähnlichen "Farbverdrehern", das ich hier schon öfter präsentiert habe. Im Programm kann man über tausend verschiedene Spiele auswählen. Ueber die diesjährigen Feiertage habe ich mir ein besonders grosses Spiel ausgewählt, das noch nie jemand gelöst hat. Mit viel Geduld und grosser Disziplin war ich rund 30 Tage mit 2 Stunden pro Tag mit diesem Spiel beschäftigt und habe über eine Million Züge gemacht. Es hat 42 verschiedene Farben und 9 Typen von Teilchen, die alle "nach hause" gebracht werden müssen.

Bild mit einer Drehung 2mal

Bild mit den 9 Typen.

Zeitgeraffter Film  https://www.youtube.com/watch?v=nDYd7xdPRdE

Tadeusz Dorozinski hat folgende wunderschöne Spiraldeltaeder erfunden.

https://geometryka.wordpress.com/2019/09/

Dabei werden bei einem Doppeltetraeder zwei  benachbarte Dreiecke weggenommen, wodurch ein Art beweglicher Schnabel entsteht. Die Oeffnung dieses Schnabels kann man mit meiner Formel geeignet wählen, sodass die Schnäbel sich perfekt an den Antiprismenturm anschmiegen. Meine Formel ist folgende.

Der Schwandbach, ein Zufluss zum Schwarzwasser, mit Werner Straumann

Der Rüdigraben, ein Zufluss zur Aergera, allein.

https://www.hikr.org/tour/post146141.html

https://www.hikr.org/tour/post146459.html

Inverting Nearness = Die Nachbarschaftsverhältnisse umkehren. Was nahe ist, soll ferne sein und umgekehrt, auf einem Torus. Faszinierender Wettbewerb, bei dem etwa 300 Teilnehmer mitmachen und der bis Oktober dauert.

http://azspcs.com/Contest/Nearness

Am Bubo-OL-Mehrtägeler in Slowenien trug ich die Startnummer 277.

Natürlich habe ich sofort nachgeschaut, ob das eine Primzahl ist.

Es ist eine Primzahl und besser: es ist die 59. Primzahl und diese 59 ist auch eine Primzahl.

Wenn man diesen Prozess umkehrt, nämlich die n.te Primzahl nachsehen geht und mit ihrem Wert m die m.te Primzahl nachsehen, u.s.w., so entsteht eine Serie von ganzen Zahlen, wie sie in der Online Encyclopedy for Integer Series OEIS oft festgehalten wird.

Ich wollte sie dort eintragen und musste feststellen, dass 1965 schon ein anderer die Serie entdeckt hatte. Es ist A007097 und sie heisst „primth recurrence“.

https://oeis.org/draft/A007097

Achtung dieser Link geht nur mit dem Browser FireFox.

Ich habe nicht locker gelassen und eine andere Serie vorgeschlagen.

Es ist A309649 und sie heisst „Sieved primth recurrence“. Ich bin neugierig, ob der Vorschlag akzeptiert wird.

On the base of A007097 the "primeth recurrence" apply some sieve. Delete the elements of A007097 in the prime numbers and take the smallest prime left. Start a new primeth recurrence series with this number as starting element. Delete these new numbers from the primes. Retain all these smallest elements. The resulting series is 1 7 13 19 23 29 37 43 47 53 ... The next missing prime is 109.

First term a(1)=1 For the 2nd term: take all primes and delete the primes from the sequence A007097 : 1,2,3,5,11,31,127, .. This gives: 7,13,17,19, .. (1) The smallest term is 7. Our a(2)=7. Now construct an A07097 series with the starting term 7 instead of 1. The 7th prime is 17. The 17th prime is 59. the 59th prime is 277. The numbers to delete from series (1) are 7,17,59,277 .. This gives: 13,19,23,29,..  (2) The smallest term now is 13. Our a(3)=13. The next A00797 like series starting with 13 is the following. 13,41,179,.. which we delete from (2). This gives: 19,23,29,..  (3) The smallest term now is 19. Our a(4)=19. And so on.

https://oeis.org/draft/A309649

Achtung dieser Link geht nur mit dem Browser FireFox.

Mein Vorschlag ist akzeptiert worden. A309649 ist kein Draft mehr. Aber es hat sich herausgestellt, dass meine kompliziert entworfene Sequenz 1, 7, 13, 19 .. bis auf die ersten beiden Terme gleich ist der Sequenz A088982, der Primzahlen mit zusammengesetztem Index, 2, 7, 13, 19 .. oder gleich der Sequenz A007821, der Primzahlen, die zwischen den Primzahlen mit Primindex stehen, 7,13,19 ..

Ein „geblähtes“ Schneefeld?

Es war eine Rekognoszier-Bergtour mit dem Resultat. Zu schwer für eine ganze Gruppe. Für mich war es ein sehr schönes Erlebnis.

http://www.hikr.org/tour/post145209.html

In der Liberté wurde berichtet, dass man 22 spektakuläre Bäume im Kanton Fribourg ausgewählt habe.

Ich habe folgenden Link gefunden, in dem man beliebig zoomen kann.

https://map.geo.fr.ch/?DataTheme=&uniquelayer=https%3A//map.geo.fr.ch/arcgis/rest/services/PortailCarto/Theme_foret/MapServer/8

In der Folge habe ich alle 22 Bäume aufgesucht und photographiert. Begleitet hat mich Werner Straumann. Da gab es noch Herrn Pompini und Vincent Schouwey, die der gleichen Passion frönten.

Später in Slowenien in Lokve hat man mir weitere drei spektakuläre Bäume (über 40 m hoch) ans Herz gelegt, die ich auch photographieren gegangen bin.

Der Bubo-Mehrtage-OL in Lokve Slowenien.

Der OO-Cup in der Gegend von Bled in Slowenien.

Die Swiss-O-Week mit 6 Wettkämpfen in der Gegend von Gstaad.

Der Aargauer 3-Tägeler.

Mit Ausnahme des Aargauers kann man alle Karten bei Kurt Huber sehen, der in der gleichen Kategorie läuft wie ich (Herren 75).

http://kurthu.blogspot.com/2019/07/slowenien-tour.html

http://kurthu.blogspot.com/2019/08/sow.html

So verläuft die Divison 1 durch 7.

Das besondere ist, dass die Periode 142857 maximal lang ist. Alle Reste die die Division durch 7 lassen kann, tauchen auf.  Unter den Primzahlen gibt es nur ca 34%, die diese Eigenschaft haben "full reptend". Das muss man sich näher ansehen. Auf Deutsch heissen diese Primzahlen „lange“ Primzahlen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Lange_Primzahl

Jitterbug war schon einmal ein Thema in diesem Blog hier.

Jetzt bin ich auf Ueli Wittorf gestossen, der gleich alt ist wie ich (Jahrgang 1943) und der die Jitterbug-Transformation verallgemeinert hat. Das ergibt bei ihm die faszinierenden Torsionspolyeder, einfach oder mehrfach belegt.

https://vimeo.com/207113479

https://vimeo.com/207078164

http://www.geometricdesign.ch/fileadmin/pdf/8_torsionskuboktaeder.pdf

http://www.geometricdesign.ch/fileadmin/pdf/9_stammbaum.pdf

Tadeusz Dorozinski in Duesseldorf hat herausgefunden, dass man mit bestimmten drachenförmigen Vierecken schöne selbstähnliche 8-zählige Rosetten zusammenbauen kann. Er kombiniert die Zeichnungen auch mit den entsprechenden dualen Rosetten (Voronoi-Zellen). Es treten in diesen Rosetten sehr schöne Spiralen auf, ähnlich den botanischen Spiralen, die wir in Sonnenblumen beobachten können. Er hat mich gefragt, ob ich ihm die genaue Formel dieser Spiralen herausfinden könnte. Das habe ich gerne gemacht. Für die Rosette mit den Drachen, die zwei opponierende Winkel von 150° und 105° haben und in der Skalierung, bei der eine Drachenspitze auf dem Punkt (x,y) = (0,1) liegt, hat die logarithmische Spirale in Polarkoordinate eine sehr einfache Form, nähmlich  r(w) = exp (-w/2 ), worin r der Radius und w der Winkel ist. Tadeusz hat auch eine Rosette mit einem anderem Drachen gebaut. Dieser hat zwei opponierende  Winkel von 135° und 90°. Hier lautet die Formel für die Spiralkurve wie folgt r(w) = exp (-0.68093*w ).

Wie die Farben des Wappens von Solothurn. Begegnet auf meiner Bergtour auf den Laitemaire on Chateau-d'Oex  http://www.hikr.org/tour/post144138.html

Es bleibt die 42. Das ist die ominöse Zahl, die im utopischen Roman "Hitchhikers Guide to the Galaxie" von Gard Jennings die Antwort auf die grösste Frage sein soll:

Deep Thought erklärt in der 42. Minute des Spielfilms die Zahl 42 als die errechnete Antwort auf die Frage „nach dem Leben, dem Universum und allem“ (“life, the universe and everything”).

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Per_Anhalter_durch_die_Galaxis_(Film)

Ausserhalb dieses Romans kann man der Zahl 42 folgende Bedeutung geben.
Wenn man alle maximal zweistelligen ganzen Zahlen, nämlich 0, 1, 2, ... 98, 99, als Summe von drei Kubikzahlen von ganzen Zahlen mit Vorzeichen schreiben will (ausser diejenigen, die bei Division durch 9 den Rest 4 oder 5 lassen, „ex“), so gelingt das heute nur noch mit 42 nicht !!!

Beispiele
1 = 1^3
2 = 1^3 + 1^3
3 = 1^3 + 1^3 + 1^3
29 = 3^3 + 1^3 + 1^3
Für die Zahl 33 wurde erst kürzlich eine Lösung gefunden. Es sind sehr sehr grosse ganze Zahlen dafür nötig.
33 = (8866128975287528)^3 + (-8778405442862239)^3 +(-2736111468807040)^3

ACHTUNG. Im September 2019 wurde eine Lösung für 42 gefunden !!!

42 = (-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3

Ich wollte auf dem Internet die Lösungen für alle Zahlen 1, 2, ... 99 (ausser 42) eruieren, was mir nicht gelang. Ich musste sie also selber ausfindig machen. Hier sind sie.

s = a^3 + b^3 +c^3,  “ex” die Ausnahmen.

Jeder kennt das Schiebespiel mit den 15 Zahlen und einem Loch.

Wenn man nicht in der Ebene bleibt, sondern auf eine Polyederflaeche geht und zusaetzlich eine zum Loch benachbarte Seite nicht ins Loch hineinschiebt sondern hineinklappt, bekommt man ein faszinierendes Spiel.

Man sorgt fuer den "Durchblick", indem man die Seiten durchloechert. Weiter zerlegt man den Rest der Seite in Stuecke parallel zu den Kanten.

Beim Hineinklappen ins Loch wird nur genau eines der Stuecke umgefaerbt. Dasjenige das an der Klappachse liegt.

Die animierte Illustration zeigt den Fall eines Wuerfels.

Der Spieleerfinder hat diese Idee fuer vier Polyeder angewendet. Den Wuerfel, das Dodekaeder, das Tetraeder und das unterteilte Tetraeder. Er nennt die vier Spiele CubeCap, DodecaCap, simpleTetraCap und TetraCap.

Ziel des Spieles ist es, alle Stuecke umzufaerben.

Diese Spiele sind erstaunlich schwierig und ich bezweifle, dass der Spieleerfinder das gewusst hat.

Ich habe jedes dieser vier Spiele im Detail analysiert und je eine Loesungsstrategie gefunden, indem ich das Spiel in einer Excel-Datei simuliert habe, wobei jedes Stueck eine individuelle Nummer bekam. Diese Stücke sind im Originalspiel anonym.

Der goldene Schnitt ist die Verhaeltniszahl 1.618 und taucht auf wundervolle Art an sehr viel total unterschiedlichen Stellen in der Mathematik auf. Es gibt viele Buecher nur fuer diese einzige Zahl. Wenn man bei einem Rechteck ein Quadrat abschneiden kann und das restliche Rechteck das gleiche Seitenverhaeltnis behaelt, ist dieses Rechteck golden.
In der Folge hat man auch andere Verhaeltniszahlen untersucht. Das "silberne" Verhaeltnis, das "Plastik"-Verhaeltnis, das "supergoldene" Verhaeltnis u. s. w.
Alle diese Zahlen kann man durch eine Gleichung definieren, von denen sie eine Loesung sind. Beispiel: x*x  = x + 1. Wenn ich hier fuer die Unbekannte x den Wert 1.618 einsetze stimmt die Gleichung. Es ist also die Gleichung zur goldenen Zahl.
Ich gehe jetzt von einer ganzen Familie von Gleichungen aus, die folgende Form haben. x^5 = x^4 + x^3 + x*x + x + 1. Dies kuerze ich ab zu g54321. Wenn ein Term fehlt, wird er in der Abkuerzung nicht erwaehnt. Beispiel: x*x = x + 1 ist g21.
Die Loesungen zu all diesen Gleichunge bekommen den gleichen Namen. Es sind die baumann'schen Zahlen. Die baumann'sche Zahl g21 ist die goldene Zahl.
Mit modern Symbolrechnerprogrammen wie Mathematica kann man alle diese Zahlen bequem herausfinden und mit beliebig viel Stellen nach dem Komma. Damit kann man auf SLOX Jagd gehen (self localising strings = s loc s = slocs = SLOX).

Unten ("mehr lesen") folgt eine Tabelle dieser SLOX (ohne gold, plastik und supergold weil anderswo publiziert).

Ein A4-Blatt ist uns allen wohlvertraut. Es ist 29 cm hoch und 21 cm breit. Es handelt sich um eine DIN Norm (deutscher Institut fuer Normen). Durch fortlaufendes Halbieren bleibt das Seitenlaengenverhaeltnis erhalten. Dazu muss dieses den Wert 0.7071.. haben. Es ist das Inverse der Wurzel aus 2. DIN Null erfuellt zusaetzlich die Bedingung, das es genau eine Flaeche von einem Quadratmeter hat.

Das alles spielt sich in der 2-dimensionalen Ebene ab. Heinrich Hemme hatte die Idee das Ganze fuer drei Dimensionen zu verallgemeinern. Das Blatt wird dann ein Quader (ein Backstein). Welche drei Ausdehnungen muss dieser haben, damit er seine Form nicht verliert, wenn man ihn halbiert? Nun es ist eins, dann das Inverse der dritten Wurzel aus 2, was 0.7937.. ist. Die kleinste Ausdehnungen ist dann noch das Quadrat dieser letzten Zahl, naemlich 0.6299.. Das Halbieren geht so: nimm die groesste Ausdehnungen und halbiere sie. Das wird dann die kleinste Ausdehnungen und die anderen zwei ruecken einen Platz nach oben.
Wenn man das Spiel auch fuer das 12-Dimensionale macht, muss man analog einen Verkuerzungsfaktor von zwoelfte Wurzel aus zwei anwenden, der das Inverse der zwoelfte Wurzel aus zwei ist! Das ist der Wert yyyy = 0.9438.. Also eins, dann yyyy, dann yyyy^2, dann yyyy^3 u.s.w. Halbieren geht wie oben: nimm die groesste Ausdehnungen und halbiere sie. Das wird dann die kleinste Ausdehnung und die anderen elf ruecken einen Platz nach oben.
Wenn man 440 Hertz als ersten Wert nimmt (das ist die Klangnote La) und den Verkuerzungsfaktor yyyy anwendet bekommt man Sol+ (Sol Kreuz). Das geht so weiter bis man bei La Kreuz und dann bei der zwoelften Verkuerzung bei 220 Hertz ankommt. Das ist das eine Oktave tiefere La.

Man kann also die 12 Ausdehnungen eines beim Halbieren die Form behaltenden 12-dimensionalen Quaders mit den 12 Halbtoenen einer Oktave beschriften!

Das ist Musik!

Siehe auch den Artikel von Heinrich Hemme Hier. 

„mehr lesen“ drücken!

Ich habe eine durchaus angenehme Erfahrung gemacht. Nachdem mir auf dem Auto meines Goldschmiedfreundes ein schlichtes Logo in Form eines Brillianten aufgefallen war, wollte ich die genaue Geometrie eines Brillianten in Erfahrung bringen und ihn virtuell funkeln lassen. Ich fand auf Internet tatsaechlich PovRay (ein Ray Tracing Programm) Code, der die 58 Facetten eines Brillianten beschreibt. Ich brauchte nur noch die Materialeigenschaft Glas anzugeben, die Kamera zu positionieren und Lichtquellen zu waehlen. Schon funkelte das Ding!

In diesem wunderbaren nicht enden wollenden Sommer sind wir noch auf die Tour d'Ai gestiegen und zwar vom Lac de Hongrin aus (Norden).

Hier der Bericht.

Jeder sollte wissen, dass man erst vor wenigen Jahren beweisen konnte, dass alle geographischen Karten mit nur 4 Farben gefärbt werden können (Vierfarbentheorem).

Ein anderes ähnliches Problem ist noch nicht gelöst.

Wieviele Farben braucht es, wenn man die unendlich ausgedehnte Ebene so anfärben will, dass zwei Punkte immer verschieden farbig sind, wenn die Distanz zwischen ihnen eins ist?

Es geht um die Color number of the plane (CNP).

In der Illustration wird gezeigt, dass diese Anzahl kleiner gleich 7 ist. Die Kachelung mit Sechsecken, deren Diagonale etwas kleiner ist als eins, hat nur 7 Farben und man erkennt, dass zwei beliebig gewählte Orte mit Distanz eins nie gleiche Farbe haben.

Der andere Teil der Illustration ist eine Moser-Spindel. Das ist ein sehr kleiner Graph mit Kanten der Länge eins, bei dem es 4 Farben braucht, um zu vermeiden dass zwei benachbarte Knoten die gleich Farbe haben.

Mit anderen Graphen, die aber viel komplizierter sind, hat man erst kürzlich beweisen können, dass es mindestens 5 Farben braucht. Zunächst hatte der Graph 1581 Knoten. Dann konnte man das auf 553 Knoten verbessern.

Die Frage bleibt also offen, ob die gesuchte Anzahl Farben 5, 6 oder 7 beträgt.

Es besteht der Verdacht, dass 78577 die kleinste Zahl k ist, die in der Formel k*2^n + 1 vor Primalitaet schuetzt (Sierpinski).

Von nur noch 17 kleineren Zahlen war noch kein n bekannt, das Primalitaet liefert. Jetzt sind es sogar nur noch 5.

Die internationale Organisation BOINC (PrimeGrid) erlaubt einem, hier mitzurechnen. Man bekommt ein Zahlenpaar (k,n) zugeordnet, fuer das man nachweisen muss, dass es zusammengesetzt (NICHT prim) ist. Dies geschieht mit dem Lukas-Lehner Test, der fuer diese bei n ungefahr 25 Millionen circa 7 Millionen Ziffern grosse Zahl (also ein ganzes Buch fuellend) etwa 20 Tage dauert. Ich persoenlich habe folgende 15 Paare (k,n) abgearbeitet.

   k               n

24737            25704631

55459            25703434

55459            25690486

24737            25639591

24737            25586623

55459            25586158

55459            25585066

55459            25507954

24737            25455391

55459            25455298

55459            25458394

55459            25381126

21181            25307132

24737            25303807

55459            25301638

Es bleiben noch Millionen andere n zu testen und die Menschheit kann nicht sicher sein, dass es ihr gelingt, fuer die 5 uebrig bleibenden k ein geeignetes n zu finden, das eine Primzahl liefert.

Es handelte sich um die Weltmeisterschaft für Senioren WMOC 2018-07-15

Am Tage des Sprints-Finals  in Kopenhagen erstieg ich auch den speziellen Turm der Frelser-Kirche mit der Wendeltreppe aussen.

Impressionen in den Bildern.

Vom 7. bis 13.Mai 2018 nahm ich an einem 5-Tage-OL im Tessin teil. Er wurde parallel zur Europameisterschaft durchgeführt. OL im Tessin ist immer sehr fein. Darunter war auch ein Sprintlauf im Dorf Tesserete, bei dem ich erst im nachhinein erfuhr, dass er als Schweizermeisterschaft gewertet wurde, was zur Folge hatte, dass ich unbekümmert eine Rekordanzahl von Punkten holen konnte. Am Ruhetag habe ich zum ersten mal in meinem Leben mit 75 Jahren Swiss Miniature besucht. Ich habe es sehr genossen.

Ich bin gerade zurück von einem schönen verlängerten Orientierungslauf-Weekend im bergigen Wallis.

Erste Etappe war auf dem Col des Planches. Die Zweite (ein sehr langer OL) auf dem benachbarten Col de Lein. Da fand gleichzeitig auch ein Kuh-Wettkampf statt! Am Sonntag liefen wir etwas oberhalb von Finhaut. Zum Teil sehr wildes Gelände mit riesigen Felsformationen.

Bachwandern kann wunderbar schön sein. Das habe ich erst jetzt (mit 75 Jahren) erfahren. Anlässlich der Circulissima von letztem Jahr ist dieses Projekt entstanden. Wir querten östlich von Schwarzenburg den Dorfbach auf einem sehr versteckten Steig. Von da aus konnte ich den weiteren Verlauf des Dorfbaches Richtung Osten erahnen. In einem grossen S-Mänder hat sich der Dorfbach in einem steilen Tobel nach Osten durchgegraben, um sich in das Schwarzwasser zu ergiessen. In diesem Tobel sind auf der 25000-er Karte keinerlei Wege eingetragen. Das hat mich gereizt. Das wollte ich erkundigen. Am Sonntag sind wir voller Sorge von unten her in das Tobel eingestiegen und wussten gar nicht wie weit wir kommen würden. Und dann kam die äusserst angenehme Ueberraschung, dass sich eine wunderschöne Bachwanderung von etwa 2 Stunden ergab. Die kleineren Bäche haben praktisch kein Geröll. Durch die häufigen Gewitter einer ganzen Woche war der geschliffene Sandstein wunderbar von allen Algen befreit. Ich habe Bilder auf die Hikr-Plattform gegeben.

http://www.hikr.org/tour/post132543.html

Ich habe hier die SLOX schon einmal eingeführt. Es sind sich selber lokalisierende Zahlenfolgen in einer Dezimaldarstellung. "Selflocalising strings". Beispiel die Ziffernfolge 1670 befindet sich an 1670 ter Stelle nach dem Komma in der Zahl Pi. Auf meiner ersten Jagt nach solchen SLOX hatte ich mir die Zahlen Pi, e, gamma, Phi unter anderem vorgenommen. Voraussetzung ist,  dass ich einen geschlossenen Ausdruck, eine Formel, für die Zahl habe. Dann kann ich nämlich im Programm Maple beliebig viel Stellen nach dem Komma bestellen. Wenn ich keine Formel, aber ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten habe und die interessierende Zahl eine Wurzel dieses Polynoms ist (d.h. den Polynomwert zu Null werden lässt), dann liefert Maple auch beliebig viele Stellen. Bei dem hier gezeigten Polyeder wurden mir 21 Polynome zugeschickt, von denen je eine Wurzel eine Zahl liefert, mit denen ich alle Koordinaten des Polyeders ausrechnen kann. In diesen 21 Zahlen habe ich ALLE SLOX gesucht, die kleiner als 10000 sind. Hier ist die Tabelle.

Die Boy-Fläche ist enorm attraktiv und von bildenden Künstlern oft aufgegriffen worden. Es gibt sehr viele Skulpturen auf der Welt. Wenn man mental ein Möbiusband und eine Scheibe dem Rand nach zusammennäht, bekommt man diese Fläche. Natürlich geht das nicht gut und es braucht Durchdringungen. Mit den modernen heutigen Mitteln (Computeranimationen) kann man dieses verdrehte Ding dem Publikum viel näher bringen.

Die Boy-Fläche ist aequivalent zur Projektiven Ebene. Heute kann man fast nicht mehr behaupten, dass das zur Allgemeinbildung gehört. Siehe hierzu folgendes: https://m.youtube.com/watch?v=mFC0qdrpip0

Neugierig gemacht? Auf dem Internet findet ihr jede Menge an Infos über die „Boy Surface“.

Seit laengerer Zeit schon beschaeftigt mich diese Idee. Natuerlich darf es der einfachste der Knoten sein, ein Kleeblattknoten. Ich stelle fest, dass diese Idee in allen Flugakkrobatikprogrammen und Wettbewerben nicht vorkommt. Natuerlich kommt auch ein Modellflugzeug in Frage. Oder sogar ein auf einem Rechner simuliertes Fliegen oder Modellfliegen. Zur Sichbarmachung waere ein Kondensstreifen oder eine Rauchfahne angenehm. Mental habe ich zuerst zwei vertikale Loopings ins Auge gefasst, die etwas gegeneinander verdreht sind. Das ergibt eine fluessige Bewegung. Als ich schlussendlich jemand motivieren konnte, geschah das in einer Sporthalle (Michel Gassmann in Schmitten), wo die Hallenhoehe die zwei Loops nicht erlaubte. Die Kombination einer horizontalen Oese, durch die dann vertikal mit einem Loop geflogen wurde, erwies sich am praktischsten. Diese Anlage eines Knotens kann dadurch gesteigert werden, dass die horizontale Oese zweifach geflogen wird. Dann ergibt sich der Torusknoten 5-1. Aequivalent dazu waere eine horizontale Oese und mehrfache Loops durch die Oese. Der Blickfang hier zeigt den Knoten mit einem Bergseil. Ich habe den Flug in der Sporthalle gefilmt und der Film kann hier https://youtu.be/aWor5SNS79g angesehen werden.

Vor etwa einer Woche habe ich meinen ersten SLOX zu Gesicht bekommen. Wisst Ihr, was da ist? Ein Self-LOCalising String, also SLOCS, modern geschrieben SLOX (String = Ziffernfolge). Es war ein besonders grosser : 79873884 (fast 80 Millionen). Er tritt in der Zahl Pi auf und zwar, wie es sich fuer einen Slox gehoert genau an der 79873884ten Stelle nach dem Komma. Die Slox sind nicht so haeufig. Obiger Slox ist nur der vierte in Pi. Die bisher bekannten Slox in Pi sind hier aufgelistet http://oeis.org/A057680. Mit einem kleinen Maple-Programm bin ich selber auf die Slox-Jagd gegangen. Ich habe andere Zahlen als Pi angschaut: e, gamma, die metallischen Konstanten gold, silber, bronze und plastic. Dann auch 3 Splits von Polygonen in gleichflaechige Stuecke T2, S3 und P2, bei denen ich ueber eine geschlossene Formel verfuege. Dito fuer 6 Zylinderschnitte 3, 4, 6, 6k, 7 und 10. Des weiteren habe ich die Slox in Pi im Oktal- statt im Dezimalsystem angeschaut. In den folgenden Bildern könnt Ihr meine Beute sehen (Drauf klicken zum Vergrössern).

Ich habe unheimlich viel Spass an diesem Mondglobus. Er wurde in 3D-Printing hergestellt. Ich habe das grösste Exemplar genommen. Ich kann sogar meine Lieblingstrukturen „Rupes recta“ und „Montes recti“ erkennen. Ich warte gespannt auf die Erhältlichkeit von einem entsprechenden Mars-Globus, einem Pluto-Globus und einem Enceladus-Globus. Der Verzicht auf irgendwelche Beschriftungen ist entscheidend. Die Idee das Profil zu invertieren, um die dunklen Mare durch Abschattung zu erzielen, ist genial.

https://www.youtube.com/watch?v=pxeJ8IqbuNw

Melinda Green lebt in Kalifornien und hat eine phantastische Erfindung gemacht. Zumindest fuer Eingeweihte. Es handelt sich um ein materielles Aequivalent des vierdimensionalen Rubikwuerfels mit Seitenlaenge zwei. Ein solches hatte man lange Zeit zu recht fuer unmoeglich gehalten. Es ging denn auch nur unter Zuhilfenahme von Magneten (die heute gut 10 mal staerker sind als noch vor 40 Jahren). Melinda ist Mitglied eines Internetforums "4D cubing" von Yahoo, bei dem ich auch mitmache. Sie hat mir die Nummer 1 einer kleinen Serie geschickt, die sie bei ShapeWays printen laesst und dann selber zusammenbaut. Entscheidend bei der Erfindung war, dass man beim unverdrehten Wuerfel nicht einen einfarbigen Wuerfel drehen laesst, der Nachbarfarben mitschleppt, sondern ein Oktaeder, das die gleichen 24 Drehungen hat wie der Wuerfel. Das Modell hat eine wunderbare Haptik. Ich zeige in der Illustration den 3-dimensionalen 2x2x2 Rubik und die Erfindung von Melinda. Unter "mehr lesen" folgt eine Bildschirmansicht des 4-dimensionalen 2x2x2x2 unter anderem. Ich erinnere daran, dass der Mathologer eine wunderbare Einfuehrung in den 3x3x3x3 gemacht hat hier. Melinda's Youtube ist hier.

Thomas Ulrich hat mir mit seiner Wiederholung der Direttissima die Idee gegeben, ebenfalls einen zu durchwandernden, 1 km breiten Korridor zu definieren. Ich habe einen Kreis mit Zentrum Fribourg und Radius 20 km gewählt. Wir haben 10 Etappen à  4h bis 5h gemacht (nicht am Stück). Etappe 1 Corbière-Mosettes, Etappe 2 Mosettes-Zollhaus, Etappe 3 Zollhaus-Riffenmatt, Etappe 4 Riffenmatt-Hängebrüggli, Etappe 5 Hängebrüggli -Schnurrimühle, Etappe 6 Schnurrimühli-Lugnorre, Etappe 7 Lugnorre - Grandcourt, Etappe 8 Grandcourt - LesMoulins, Etappe 9 LesMoulins - Liamont  und Etappe 10 Liamon-Corbière.  Hier ist ein Bericht mit Fotos:  http://www.hikr.org/tour/post127035.html

Es ist recht lange her, dass die Ausstellung "Phenomena" in Zürich stattgefunden hat (1984). Am besten mag ich mich ein Gestänge (die Kanten) eines hausgrossen Oktaeders erinnern. Das Gestänge war beweglich und konnte sich kontinuierlich zu den Kanten eines Kubooktaders verändern. Das Publikum konnte eine Hebebühne in der Mitte des Polyeders betreten. Die Transformation der Kanten ist nach Jitterbug benannt. Auf Youtube gibt es Animationen dazu. Tadeusz Dorozinski hat mich nach einer genauen Beschreibung dieser Jitterbug-Transformation in analytischer Geometrie gefragt. Ich habe sie mit Vergnügen ausgerechnet. Ich habe auch ein Modell aus Karton für die Jitterbug-Transormation.

Transformation 1

https://m.youtube.com/watch?v=HekEKdcw5_k

Transformation 2

https://m.youtube.com/watch?v=FfViCWntbDQ

Phaenomena 1984

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A4nomena

Die archimedischen Polyeder SnubWürfel und SnubDodekaeder sind meine Lieblingspolyeder. Mein Brieffreund Tadeusz Dorozinski ist mit dem Anliegen an mich herangetreten, sie wie folgt abzuändern. Statt für den SnubWürfel verkleinerte Quadrate in den Seiten eines Würfels so zu drehen, dass die sich auftuende Lücke mit gleichseitigen Dreiecken gefüllt werden kann, neu verkleinerte Achtecke zu nehmen. Es braucht dann einen anderen Drehwinkel (7.928°) und in den Würfelecken entstehen nicht gleichkantige Drachen. Ich nenne das neue Polyeder „Snub8“.

Auch beim SnubDodekaeder kann man statt der verkleinerten Fünfecke verkleinerte Zehnecke nehmen. Hier entsteht mit dem Drehwinkel (7.431°) das neue Polyeder „Snub10“.

Natürlich sind es händige Polyeder, was besonders reizvoll ist.

Diesmal ging es mit meinem Bruder Max und seinen zwei Töchtern Noemie und Jasmin zum Zwingherrenbogen.

http://www.hikr.org/tour/post126634.html

Wunderschöne Herbst-Bergtour oberhalb Brienz

http://www.hikr.org/tour/post126277.html

Mit "Piste et Montagne" von ex-Ilford in die Berge: Panossière-Hütte.

Hier der Bericht:

http://www.hikr.org/tour/post125092.html

Nach 47 Jahren bin ich auf den gleichen Berg zurückgekehrt. Im Mai 1970 machte ich es mit Skiern.

Jetzt war es eine schöne Sommertour. Siehe mein Bericht in http://www.hikr.org/tour/post124228.html

Zuerst gings für eine Woche nach Slowenien, wo wir ganz in der Nähe der Hauptstadt Ljubiljana in den Waeldern unterwegs waren.   Für mich ein prägendes Ereignis war, dass in der Schlussetappe ein Zweig mir die Brille abstreifte und ich diese nicht mehr finden konnte. Das Wiederbeschaffen einer Brille in den Optikergeschaeften von Ljubiljana war dann ein besonderes Abenteuer. Es ist heutzutage nicht leicht, ein Geschaeft zu finden, das Rohlinsen an Lager hat. Nur so kann man probieren und die Brille nach Anfertigung gleich mitnehmen. In der Zweiten Woche zog ich weiter nach Kroatien auf die Insel Cres. Obschon die beiden Länder benachbart sind, gab es nur auf Cres richtiges, heisses Mittelmeer-Ambiente. Eine Woche drauf nahm ich am Aargauer Dreitage-OL teil, der erstaunlicherweise drei schoene Läufe fast ohne gefürchtete Dornen anbieten konnte (Wettkampfzentrum in Vordemwald!). Beim OL sind natürlich nicht Postkarten sondern OL Karten die wertvollsten Erinnerungsstücke. Weil Kurt Huber in der gleichen Kategorie läuft wie ich, kann ich auf seine Berichte verweisen mit Karten in guter Auflösung (drauf klicken und zoomen!).

http://kurthu.blogspot.ch/2017/08/slowenienkroatien-tour.html

http://kurthu.blogspot.ch/2017/08/aargauer-3-tage-ol.html

Polyeder mit gleichlangen Kanten beschäftigen mich weiterhin. In der Juni Nummer 2017 des Spektrum der Wissenschaft präsentiert Christoph Pöppe "unsere" Wunderwelt der Gleichkanter http://www.spektrum.de/magazin/wunderwelt-der-gleichkantigen-polyeder/1453313. Im Moment haben wir einen Wettbewerb laufen, der für alle Gleichkanter mit weniger als 123 Flächen jeweils den rundesten Kandidaten sucht. Den Stand der Dinge kann man jederzeit auf http://www.baumanneduard.ch/Galerie.pdf ansehen gehen.

Gestern war ich wieder einmal mit Ehemaligen von Ilford in den Bergen unterwegs. Wir waren zu fünft. Das Wetter war mit von der Partie und wir konnten die Wanderung vom 13 km mit 800m Höhenmeter rauf und dann wieder runter geniessen. Mit den Pausen waren wir 7h unterwegs. Hier könnt Ihr meinen Bericht lesen (mit viel Blumen natürlich)..

Schöne Wanderung im Justistal am Thunersee. http://www.hikr.org/tour/post121659.html

Es gibt da eine zu unrecht verkannte Sehenswürdigkeit im Raume Fribourg. Ich bin in diesem Raume geboren und habe immer da gelebt. Ich musste 73 jährig werden bevor ich von ihr erfuhr! Es handelt sich um eine sehr alte Brücke und sie liegt an einem sehr verwunschenen Ort.

Ich habe angefangen, mich für runde Polyeder zu interessieren. Zuerst geschah dies im Rahmen derjenigen Polyeder, die genau 100 Fazetten haben. Jetzt führe ich eine Tabelle mit dem rundesten Polyeder für jede Anzahl n Fazetten (bis n=122 nur). Als Kriterium für die Rundheit nehme ich den isoperimetrischen Wert r = 36*Pi*Oberläche^3/Volumen^2. Er hat den Wert 1 für die Kugel. Man kann in einer zweiten Tabelle auch nur Polyeder betrachten, die alle gleich lange Kanten haben. Andere Leute haben sich darum bemüht, eine Kugel mit n möglichst kleinen gleichgrossen Kreisen vollständig zu überdecken. Diese „spherical coverings“ kann man nun herbeiziehen (siehe Blickfang links), um sehr runde Polyeder herzustellen. Man nimmt die publizierten Zentren der Kreise der „spherical coverings“ als Polyederecken und geht zum dualen Polyeder über. Und siehe da. Die Rundheit r dieser Polyeder folgt sehr eng der erstaunlich einfachen Beziehung „r = 1 – 3/n“. Das war eine grosse Ueberraschung für mich.

Vielleicht lässt sich da etwas beweisen.

Auch die Simulationen mit n elektrischen Ladungen auf der Kugel lassen sich hier heranziehen.

Kürzlich ist wieder ein ca 3 monatiger Wettbewerb von Al Zimmerman gestartet worden „Polygonal Areas“. Auf Bild klicken, um es besser lesen zu können.

Es sind wie üblich 25 Aufgaben zu lösen, wovon man die kleinste Aufgabe (5x5) sehr wohl „von Hand“ auf kariertem Papier machen kann. Probiert’s mal. Da fällt kein Zacken aus der Krone.

http://azspcs.com/Contest/PolygonalAreas

Seit laengerer Zeit steht ein Kartonmodell eines nicht konvexen Polyeders in meiner Bibliothek, das durch lauter Dreiecke begrenzt ist und trotzdem beweglich ist. Das hielt man sehr lange fuer unmoeglich. Das Polyeder "atmet" aber nicht, das heisst, es veraendert sein Volumen nicht, wenn es sich bewegt. Dies konnte man erst in neuerer Zeit beweisen fuer alle beweglichen Polyeder mit lauter Dreiecken.

Siehe auch: http://www.spektrum.de/magazin/flexible-polyeder-und-die-blasebalg-vermutung/825477

Hier ein mein Youtube der Wolfram Demo, wo sich die Volumenangabe (laufende Berechnung) nicht veraendert.  https://youtu.be/2JeG2r17kD0

Der Beweis erfolgt ueber die Formel des Volumens, die nur von den Kantenlaengen abhaengt.

Und hier eine pdf-Datei des Beweises (mal hineinschauen!):

https://www.math.ucdavis.edu/~deloera/MISC/BIBLIOTECA/trunk/Connelly/Connelly3.pdf

Wir passen uns an. Die Schweiz ohne Gletscher nach der Klimaerwärmung. Hier mein Bericht auf Hikr: http://www.hikr.org/tour/post115322.html

Meine Leibspeise ist MagicTile, wie Ihr alle wisst. Burkard Polster, aka Mathologer, hat vor ein paar Monaten den 4D-Rubik-Würfel präsentiert, mit einem enormen Erfolg.

Jetzt hat er zwei Videos für MagicTile gemacht. Seht sie Euch an!

https://youtu.be/DvZnh7-nslo

https://youtu.be/iOla7WPfCvA

Es hat immer noch zwei Plätze (von hundert) frei im Mathologer Wettbewerb.

Das Gemsgrätli der Nünenenfluh war jetzt mehrere Jahre auf meiner Agendaliste.

Gestern, fast im November, hat es bei schönen Bedingungen geklappt. Ich bin sehr zufrieden. Meinen Bericht kann man hier einsehen.

Auf einer Wanderung mit den Pensionierten der Ilford entlang von zwei Bissen oberhalb Sion (Bisse de Lentine – Bisse de Mont d’Orge) konnte ich auf dem Mont d’Orge einem phänomenalen Schauspiel beiwohnen: eine Gottesanbeterin verspeist eine kaum kleinere Heuschrecke. Sie liess sich überhaupt nicht ablenken, als ich mich niederkniete und aus 10 cm Distanz zuschaute. Sie hat einen ungemein beweglichen Kopf. Während der ganzen ca 20 minütigen Beobachtung vollführte die Heuschrecke mehrmals einen Sprung von ca 20 cm und nahm die Anbeterin jeweils mit. Sehr eindrücklich! Das Bild hat Yves Tricot gemacht mit einem sehr potenten Teleobjektiv und bei praller Sonne.

Nach einem Klettersteig habe ich einen phantastisch schöner Käfer angetroffen.

http://www.hikr.org/tour/post112710.html

Olympische Ringe hat es fünf. Im offiziellen Rio-Logo (siehe unten unter „mehr lesen“) ist die Zahl 5 nur schwer zu erkennen. Wenn ich den entsprechenden Graphen erstellen, dann ergeben sich 3 Knoten (ein 4-wertiger und zwei 3-wertige) sowie 5 Kanten. Mit der Eulerformel kann man auf 4 Flächen schliessen. Ich habe den Graphen möglichst symmetrisch auf eine Kugel gebracht und zusätzlich gefordert, dass die Zweiecke halb so gross sind wie die Dreiecke. Das ergibt die animierte Stereodarstellung oben (crossed eyes). Ein Zweieck ist transparent gestaltet. Die Fläche der Zweiecke wäre nur per Integration berechenbar, weil sie auch durch einen Breitenkreis begrenzt sind (der kein Grosskreis ist). Enrico Bernal hat mich aber auf einen Trick aufmerksam gemacht. Die Fläche eines Kugelsegmentes (eine Haube, eine Kappe) hat eine einfache Formel! Davon kann man leicht einen Sektor berechnen. Und von diesem kann man ein sphärisches Dreieck abziehen PEDCP (!), um zur gewünschten Fläche zu gelangen. In der Darstellung unten unter „mehr lesen“ ist die rot-gelbe Fläche eine Hälfte des blauen Zweieckes in der Animation oben.

Es ist nicht leicht zu wissen, was das ist, wenn man es noch nie benutzt hat: das „Loch“ eines Frisbi-Golf-Parcours! Angetroffen habe ich das in Estland bei der Orientierungslauf Weltmeisterschaft für Senioren WMOC 2016. Das andere senkrecht stehende Gebilde, das ich noch nie gesehen hatte, war der Hain-Wachtelweizen.

Unten sind zwei Bilder davon angehängt (auf "mehr lesen" drücken!)

https://de.wikipedia.org/wiki/Hain-Wachtelweizen

Video’s von der WMOC 2016:

https://www.youtube.com/watch?v=sRyqk9Qp6sM

https://www.youtube.com/watch?v=BgUIFvFfK3Y

https://www.youtube.com/watch?v=vqWhpZdT8og 

https://www.youtube.com/watch?v=_NMHfFFub8w

Mitten in den 6 Tagen Orientierungslauf im Engadin SOW 2016 gab es einen Ruhetag, den ich dem Badile gewidmet habe, dessen Nordgrat eine meiner schönsten Touren ist (1200m in bestem Felsen).

 http://www.hikr.org/tour/post109969.html

OL Impressionen: Etappe 1, Etappe 2, Etappe 3, Etappe 4, Etappe 5 und Etappe 6.

Polyeder mit lauter gleich langen Kanten sind ein Hobby von mir. Nachdem ich unter ihnen diejenigen mit genau 100 Flächen untersucht habe (Hektoeder), interessiere ich mich hier auch für diejenigen, bei denen Volumen und Oberfläche gleich gross sind (natürlich in der Skalierung, wo die Kantenlänge eins beträgt). Ich nenne sie GleKOV’s (Gleichkanter mit Oberfläche = Volumen). Ich zeige eine Liste von 16 Glekovs. Die Autoren sind Enrico Bernal, Tadeusz Dorozinski und ich. Zwei Glekovs sind gleich zweimal entdeckt worden (No 08 = No 05 und NO 12 = No 06). 

Das Interesse meines Enkels Rayan für MagicTile hält sich noch in Grenzen. Es ist nicht das erste mal, dass ich MagicTile hier erwähne. Es ist ein mich immer noch faszinierendes Programm für virtuelles Tüfteln à la Rubik. Nach über 400 Fällen und einer grösseren Pause habe ich jetzt die Familie der Super Chops angefangen. Ich zeige Bilder vom Fall „Super Chop octahedron“. Es werden die drei Bewegungsarten und wichtige Makro’s gezeigt, die ich bauen musste.

Der heutige AZ Contest „Non coplanar points“ betrifft Punkte, die nicht in der gleichen Ebene liegen dürfen.

In der Illustration liegen die  gelben Punkte gemeinsam in der gleichen Ebene, die blauen hingegen nicht. Die Illustration zeigt auch, dass nur die Gitterschnittpunkte betrachtet werden, also Punkte mit ganzzahligen Koordinaten. Beim Contest muss man für alle Würfel mit Kantenlängen, die prim und kleiner als 100 sind (das sind 25 Fälle), möglichst viele Punkte auflisten, von denen nie 4 in einer gleichen Ebene liegen.

http://www.azspcs.net/Contest/Tetrahedra

Die Liste 3,5,6,8 erzeugt 17 verschiedene Elemente durch paarweises Addieren oder Multiplizieren.

Finde eine bessere Liste von 4 Ganzzahlen, die möglichst wenig verschiedene Element erzeugt.

Diese Aufgabe ist für Listen der Länge 40, 80, .. bis 1000 zu lösen.

Das ist der Al Zimmerman Contest "Sums&Products I"  

Es gab eine Variante zum Al Zimmerman Contest "Sums&Products I“, nämlich „Sums&Products II“, bei dem fast alles gleich war wie im ersten Contest, ausser dass nicht möglichst wenig verschiedene Element  erzeugt werden sondern dass kein Element doppelt auftreten durfte.

http://www.azspcs.net/Contest/SumsAndProducts2

In der Abbildung seht Ihr meine zwei neuesten Anschaffungen. Der weisse Ghostcube ist ein sehr spezieller Rubikwürfel. Die Drehachsen sind nicht senkrecht zu den Seiten sondern gehen durch die Ecken oder Kantenmitten! Weiter sind die Drehmöglichkeiten massiv durch die vorausgehenden Drehungen bedingt. Alle 26 Teile sind voneinander verschieden, nicht in Farbe sondern in Form. Beim Rubik-Sudoku II haben wir den normalen Rubik-Mechanismus nur sind die Kanten- und Eckenelemente nicht mehr mehrfarbig und müssen deshalb nicht an Ort und Stelle orientiert werden. Dafür ist es viel schwieriger zu wissen wohin ein Teil (Kugel) gehen muss, denn das Ziel ist nicht Einfarbigkeit der 6 Seiten, sondern auf jeder Seite müssen 9 verschiedene Farben auftreten (wie im Sudoku).

Die Liste 3,5,6,8 erzeugt 17 verschiedene Elemente durch paarweises Addieren oder Multiplizieren.

Finde eine bessere Liste von 4 Ganzzahlen, die möglichst wenig verschiedene Element erzeugt.

Diese Aufgabe ist für Listen der Länge 40, 80, .. Bis 1000 zu lösen.

Das ist der Al Zimmerman Contest "Sums&Products I"  2015/2016. Siehe auch:

http://www.azspcs.net/Contest/SumsAndProducts1

http://www.azspcs.net/Contest/SumsAndProducts1/Standings  

Mein Rang: 103. von 371

„EZ unlink“ ist ein Puzzle (Denksportspiel) aus Metall. Es besteht aus 4 verschlungenen Dreiecken mit teilweise ausgefülltem Inneren. Es gilt die Dreiecke auseinanderzunehmen und dann wieder zusammenzufügen. Mich hat aber vor allem die regelmässige Anordnung der Dreiecke im Raum interessiert. Es stellt sich heraus, dass die 12 Ecken der 4 Dreiecke auch (geschickt ausgewählte) Ecken eines Kubooktaeders sind !! In den folgenden Bildern seht Ihr ein Kubookateder (Würfel mit abgestumpften Ecken), die erstaunlich einfachen Koordinaten (lauter Einsen) für EZ-unlink, eine Darstellung mit Mapple und die Berechnung des Jones-Polynoms dieser Verschlingung in Mathematika.

Dieses Spiel hat viele Namen: Fünfzehnerspiel, 15-Puzzle, 14-15-Puzzle, Boss Puzzle, Schiebepuzzle, Schieberätsel Schiebefax oder Ohne-Fleiß-kein-Preis-Spiel. Im geordneten Zustand hat es ein Schachbrettmuster in rot und weiss. Man kann nun nach demjenigen Spziergang des Loches unten rechts fragen, der möglichst viele verschiedene Polyomino-Muster hinterlässt. Jeder kennt den Domino-Stein. Es sind zwei aneinander geklebte Quadrate. Ein Triomino hat drei aneinander geklebte Quadrate (es gibt nur zwei Formen: das gestreckte und das abgewinkelte). Eine Polyomino hat beliebig viele Quadrate. Diese Aufgabe zu lösen nicht nur für den Fall 4x4, sondern auch für 5x5 bis 23x23, ist der Inhalt des „Poor man contests Sli-Polyo“. Link: http://pmpc.neocities.org/ . Das spezielle an diesem Contest ist, dass er auf einer (international) geteilten Excel-Datei stattfindet. Es folgen zwei Bilder dazu.

Ich hatte schon ein längere Zeit etwa 10 Metall Puzzles. Das sind zum Teil recht schöne zusammengesetzte kleine Skulpturen aus Metall, die man nur sehr trickreich auseinander nehmen kann. Eine reiche Auswahl dieser Puzzles findet man eher auf dem Internet als im Spielwarengeschäft, weil anforderungsreiches zu lange im Regal bleiben würde. Jetzt habe ich eine grössere Menge (etwa 30) solcher Puzzles in Amerika bestellt, sodass ich bereit eine kleine Sammlung habe. Sie sind noch nicht alle ausgepackt! Die schwierigeren Puzzles sind auch mit ausführlicher Anleitung in einem Youtube Film gar nicht leicht zum Auseinandernehmen. Es stellt sich die interessante Frage, wie so eine Anleitung zu gestalten ist, damit die Information ankommt. Kamera und die fingerfertigen Hände kommen einander in die Quere.

Mit "Piste et Montagne" von der Ex-Ilford unterwegs: http://www.hikr.org/tour/post99903.html

Rendez-vous mit dem Alpensalamander

http://www.hikr.org/tour/post99281.html

Weit weg von der Westschweiz: der Alpstein

hier

In einigen der bisher gezeigten Raumfüllungen mit konvexen Gleichkantern kann man gewisse Polyeder WEITER UNTERTEILEN in konvexe Gleichkanter. Das zeige ich hier.

tT = T + O

tC = T + C + J4

tO = O + P8 +J1 + J3

rCO = J4 + P8

tCO = C + rCO + J3 + J4

Letztes Wochenende genoss ich eine wunderschöne Zweitages-Bergtour westlich von Chamonix.

Hier kommt  das dritte Paket von lückenlosen Raumfüllungen mit den Nummern 31 bis 44.

Ich habe schon in die Thematik des „Lückenloses füllen des Raumes mit konvexen Polyedern“ eingeführt. http://edu1618.jimdo.com/2015/06/14/3d-fill/

Mein Anliegen ist es, diese Füllungen mit möglichst wenigen Polyedern und animiert darzustellen. Damals hatte ich 15 Stück aus dem Internet zusammengesucht. Jetzt sind zusammen mit Enrico Bernal aus Stuttgart und Tadeusz Dorozinski aus Düsseldorf weitere 30 dazu gekommen. Hier folgt das Paket mit den Nummern 16 bis 30.

"mehr lesen" drücken, um alle 15 zu sehen.

Vom 14.8. bis 16.8.2015 war ich im Aargau an einem 3-Tage-OL

http://www.3days.ch/willkommen

Vom 1.8. bis 8.8.2015 war ich in Schottland an einem 6-Tage-OL für das Publikum zur normalen OL-Weltmeisterschaft. Die Staffel haben die Däninen gewonnen. Bei den Herren waren es die Schweizer. Wir logierten in Nairn in der Nähe von Inverness. Das Linksfahren mit dem Mietauto war etwas besonderes.

http://www.scottish6days.com/2015

Vom 25.7. bis 31.7.2015 war ich in Schweden bei der Weltmeisterschaft für die Senioren der Orientierungsläufer. Es spielte sich alles in der Nähe von Göteborg ab.

http://www.wmoc2015sweden.se/

Gestern waren wir auf dem sehr speziellen Trogenhorn

Kachelung (tiling, tesselation) mit ausgebauchtem Quadrat und Kubus

Es gibt natürlich jede Menge von Kachelungen. Ich möchte mich hier aber auf das Quadrat und den Würfel beschränken. Es ist bemerkenswert, dass sowohl beim Quadrat wie beim Würfel nur zwei verschiedenen Arten gibt, Ausbuchtungen auf 50% der Seiten anzubringen. Nämlich „benachbart“ oder „nicht benachbart“. Die nicht ausgbuchteten Seiten sind eingebuchtet. 

"mehr lesen" drücken!

Lückenlose Füllung des Raumes mit einem oder mehreren konvexen Polyedern mit lauter gleichen Kantenlängen. Ich habe 15 davon gesammelt und sie im Programm GreatStella mit möglichst wenig Teilen zusammengebaut, um sie anschliessend als animierte Bilder zu exportieren. Nicht dabei sind Würfel-Scherungen und einfach verdickte 2D-Parketierungen.

Die Fortsetzung der Füllung sollte überall klar ersichtlich sein.

"mehr lesen" drücken, um alle 15 zu sehen.

Diesmal war ich mit der Sektion "Piste et Montagne" von Ex-Ilford unterwegs. Bericht mit Photos könnt Ihr 

 hier sehen.

Dies ist ein ganz besonders gut gelungenes Bild eines Murmeltieres. Dieses vorsichtige "den Kopf über die Kante Anheben" und Sichern ist sehr typisch und drollig und herzig (Bild vergrössern durch Anklicken). Natürlich stammt das Bild von Winterbaer, eine Hikerin, die wunderschöne Bilder von Blumen und Murmeltieren macht, zum Beispiel hier.

Nachdem ich jetzt einen Monat lang keine Zusendungen von Hektoedern (Polyeder mit genau hundert Flächen) mehr bekommen habe, beschliesse ich meine Sammlung, die jetzt 131 Stücke hat. Ich selber habe ca 30 dazu beigetragen. Ich habe sie nach Rundheit geordnet (möglichst kleine Oberfläche bei Volumen eins). Der animierte Blickfang dieses Beitrages stammt von mir und ist das rundeste von den 131 Hundertflach. Die ganzen 131 Polyeder könnt ihr hier und hier ansehen. Sie sind in zwei pdf-Dateien gepackt, in denen man bequem zoomen kann, was ich sehr empfehle.

Bororigami = Boromäische Ringe und Origami.

Angeregt wurde ich durch den Blog „Skeptic’s Play“. hier

Bei der Origami-Kunst (Faltkunst) wird nichts geklebt und nichts weggeschnitten!

Es braucht 3 A-Blätter, die man längs in 6 Hälften geteilt hat. Normale Papierdicke nehmen.

Ich bin kein regelmässiger Origamiker. Es hat nicht viel gefehlt und ich hätte die nötige Aufmerksamkeit für das Bororigami nicht aufgebracht. Es ist nicht sehr schwer, aber es verschafft einem einen guten Einblick.

Der in Figur 3 gezeigte Schritt ist der entscheidende. Der Vorgang ist ein bisschen komplex. Aber genau um ihn geht es. Das muss man erlebt haben!

Im übrigen sind zwei „Rohrstücke“ immer so ineinander zu schieben, dass das längere Stück ins kürzere geschoben wird (entgegen der Skizze). Man muss den quadratischen Querschnitt des einen Rohrstückes „eindellen“.

Ich lade alle herzlich ein: Macht Euer eigenes Bororigami, photographiert es und schickt mir (ed.baumann@bluewin.ch) ein Bild. Ihr werdet dann in meinen Bororigami-Club aufgenommen!

"mehr lesen" drücken für mehr Bilder!

Wenn man mit einer Suchmaschine wie Google auf dem  Internet mit den Stichworten „Bärtierchen Bilder“ sucht erhält man erstaunlich viele Bilder. Obschon das Tierchen unter einem Millimeter gross ist, ist es wegen seiner drolligen Form sehr beliebt. Den Wikipedia-Eintrag findet ihr hier.

Es gibt Filmchen auf Internet, die zeigen, dass auch die Bewegungen des Bärtierchens drollig und anrührend sind hier.

In der mir sehr vertrauten 3D-Druckerei ShapeWays in Holland hat nun kürzlich jemand ein solches Bärtierchen etwa 100 mal vergrössert offeriert. Natürlich habe ich sofort bestellt. Es folgen ein paar Bilder.

Einmal mehr zeige ich die faszinierende dichteste Kugelpackung. Ich kann zwei aquivalente Gedankenexperimente damit machen.

(a)

Ich stelle mir vor, die Kugeln seien aus Blei. Jetzt setze ich sie einem allseitigen Druck aus. Die Kügelchen deformieren sich, bis die den Raum lückenlos ausfüllen. Wie sehen sie am Schluss aus?

(b)

Ich stelle mir vor, die Kugeln seien Luftballone. Ich blase sie alle gleichzeitig (fragen Sie mich nicht wie) weiter auf ohne dass sie ihren Mittelpunkt verlassen können (Inflation). Wie sehen sie am Schluss aus?

Die Antwort ist: die Kugeln werden zu Rhombododekaedern (zwölf Rauten, die sich zu einem rundlichen Körper schliessen).

Vor der Inflation kann man die Frage stellen: Sind die Zwischenräume (das Komplement der Packung) alle miteinander verbunden und welche Form haben sie? Antwort: Ja, sie sind es! Sie perkolieren also. Zur Form: weiter unten.

Bei der Packung aus Rhombododekaedern im folgenden Bild kann man zwei verschiedene Begegnungsstellen erkennen, a und b. Bei b treffen sich vier Dodekaeder, bei a sechs Dodekaeder. Wenn man sich die Spitzen (die 3-wertigen und die 4-wertigen) des Dodekaeders alle leicht angeschliffen vorstellt, so sieht man, dass die entstehenden Lücken bei b Tetraeder und bei a Würfel sind. Das beantwortet die Frage nach der Form der Lücken bei der Kugelpackung (sphärisch verformt natürlich und nicht getrennt). Es hat halb soviele Würfellücken wie Tetraederlücken. Jedes Dodekaeder bringt 6 viereckig abgeschliffene Ecken und 8 dreieckige. Für einen Würfel braucht es 6 Vierecke (6/6=1) und für das Tetraeder 4 Dreiecke (8/4=2).

Ich meine Vielflach (Polyeder) mit genau 100 Fazetten. Im Bild zeige ich das bisher rundeste 100-Flach. Ich habe inzwischen 92 Hektoeder gesammelt.

Es gibt ganz in der Nähe von Fribourg einen nicht hoch gelegenen Ort (nur 869m) Mont d’Avoud südlich von Treyvaux, von dem aus man in einer einzigartigen Sicht den sehr weit entfernten Mont Blanc als einzigen 4000er sehen kann. Auf dem Bild seht Ihr das beste bisher mir zugesandte Foto von Dieter Wyrsch, Marly. Angehängt habe ich auch die Karte mit diesem mit dem Auto erreichbaren Aussichtspunkt und mein eigenes Foto (mit Lumix Kamera). Zum Vergleich der ebenfalls isolierte Mont Blanc von Genf aus (viel näher am Berg).

Jetzt über die Feiertage ist mir ein wunderbares Hobby zugefallen. Sich für jene Poleder (Vielflächer) zu interessieren, die genau hundert (nicht mehr und nicht weniger) Fazetten haben. Die Idee ist mir eingefallen nach dem Beitritt zu einer wunderbaren FaceBook Gruppe „Polyèdres et particularités mathématiques“. Dort lernte ich auch den Polen Tadeusz Dorozinski kennen, der eine wunderbare Website hat hier. Sogar den Autoren des Programmes GreatStella, das jeder gebildete Mensch besitzen sollte, Rob Webb in Australien konnte ich zu einer Teilnahme bewegen. Das Bild zeigt eines meiner bisher gesammelten (selber konstruiert oder erhalten) 17 Hektaeder.

Als Programmierer war das immer ein besonderer Moment, wenn ausnahmsweise auf „double precision“ umgestellt werden musste bei heiklen Algorithmen. Die Zahlen wurden dann etwa statt mit den üblichen 6 Nachkommastellen mit 12 Nachkommastellen berechnet. Beim MacIntosh Personal Computer waren es stolze 20 Nachkommastellen (ohne dass man nachfragen musste). Bei meinen Zylinderschnitten kann ich, weil ich mit analytischer Geometrie arbeite, die Oberfläche des entstehenden Gebildes mit einer Formel angeben. Dies ist nicht möglich, wenn man alternativ mit dem Programmen PovRay oder Stella4D arbeitet. Sie arbeiten essenziell approximativ (numerisch). Wenn man eine algebraische Formel hat, kann man mit einer formalen Programmiersprache wie Mathematica den Wert der Formel in fast beliebiger Genauigkeit ausrechnen lassen.Die Syntax lautet etwa N[Pi,10000], was bedeutet: bitte die Zahl Pi mit 1000 Nachkommastellen ausgeben. Mathematica hilft auch gewaltig beim Kürzen einer Formel (symbolisches Rechen, Algebra). Ich verfüge also bei meinen Zylinderschnitten und auch bei den EqualArea-Betrachtungen (Seifenblasen in Vielecken) sehr genaue Werte. Ich kann zum Beispiel die Frage beantworten: Wie lautet die tausendste Nachkommastelle der Zahl e, des goldenen Schnittes, der Zahl Pi, der Oberfläche des zum Ikosaeder gehörigen Zylinderschnittes und der Trennlänge von drei Seifenblasen im Quadrat ? Die Antwort ist: 5, 6, 4, 9 und 4. Im Zusammenhang mit diesen herrlich unnützen hohen Genauigkeiten, fallen mir die Mandelbrot-Fraktale ein. Dort hat man schon mit einem Faktor 10 hoch 275 gezoomt, siehe hier. Man vergleiche dazu das Verhältnis Weltallgrenzen / Protonendurchmesser von 10 hoch 41 (nur!), siehe hier. Man hat den Fraktal-Zoomfaktot sogar auf 10 hoch 1500 gesteigert. In Worten: der Fraktalzoom entpricht dem viel Milliardenfachen desjenigen Zoom, der vom Blick aufs ganze Universum bis zum Blick auf ein Proton führt.

Der Durchschnittswert von a und b ist der Mittelwert von a und b, nämlich (a+b)/2. Der Durchschnitt von zwei Mengen wird auch die Schnittmenge genannt (englisch/französisch intersection). Der Durchschnitt von Zylindern, deren Achsen alle durch einen einzigen Punkt gehen, interessiert mich. Ich nenne ihn Zylinderschnitt. Andere nennen ihn Durchdringung von Zylindern. Ich habe viele solche Schnitte bis zu 21 Zylindern mit analytischer Geometrie konstruiert, siehe hier. Später entdeckte ich, dass man Schnitte mit dem Programm PovRay rechnen lassen kann, siehe hier. Jetzt habe ich von Ulrich Mikloweit erfahren, dass man das Programm „Stella4D“ (verwandt mit dem mir vertrauten „GreatStella“) von Robert Webb zur Darstellung von Zylinderschnitten verwenden kann (ziemlich trickreich). Ulrich hat eine wunderschöne Website, siehe hier. Robert Webb nennt die dabei zu verwendende Operation „Kern (convex core)“, dabei werden vom Koordinatenursprung ausgehend die ersten Faces eruiert, die man begegnet. Der Wortteil „Durch“ hat es in sich. Er tritt auch in Durchmesser auf und bei der Selbsdurchdringung der Klein’schen Flasche.

Ich habe 100 Fr für einen Regenwurm ausgegeben und bin stolz darauf. Das ging so. Kurz nach Regenfall haben wir Tennis gespielt. Da gab es zahlreiche Regenwürmer, die sich in der roten Wüste des Tennisplatzes gefährlich verirrt hatten. Wir haben sie einzeln aufgelesen und gerettet (an die 40 Stück). Einer von ihnen hatte schon angefangen, vertikal nach unten zu flüchten. Das ist ihm in diesem doch sehr harten Boden erstaunlich gut gelungen. Wir konnten ihn nicht herausziehen. Ich habe meinen Hausschlüssel genommen und mit Respektabstanden den Boden rund herum aufgelockert. Wir konnten den Regenwurm so befreien. Anschliessend habe ich den Schlüssel im nassen Gras abgewischt. Das hat aber nicht ausgereicht. Zu Hause habe ich mein Haus ohne Probleme geöffnet (Kaba). Aber der Schlüssel liess sich dann hartnäckig nicht mehr aus dem Schloss herausziehen. Oel darf man nicht verwenden. Pipette für Warmwasser hatte ich nicht. Ich habe mit einer Trinkflasche probiert. Dann habe ich aufgegeben und einem Schlosser telefoniert. Als er endlich da war hat scheinbar meine Wasserbehandlung angeschlagen, der Schlüssel ging problemlos raus. Schlüssel und Schloss bekamen bei dieser Gelegenheit einen guten Grafit-Schmierungsservice.

Kostenpunkt: 100 Fr. Nicht für die Katz sondern für den Regenwurm.

Bei diesem prachtvollen Herbstwetter hat es uns natürlich in die Berge gezogen.

Hier ist mein Hikr-Bericht von den Sieben Hengsten.

Der jetzt seit Anfang Oktober bis Ende Jahr laufende Programming Contest von Al Zimmermann widmet sich den DelaCorteZahlen. Wir wissen natürlich alle sofort, was damit gemeint ist. Es ist eine Zahl, die bei zwei in einer Matrix eingeschriebenen Zahlen die Gemeinsamkeit (grösster gemeinsamer Teiler) und die Verschiedenheit (Distanz in der Matrix) miteinander verquickt. Es gilt, für 25 verschieden grosse Quadrate (Seitenlänge 3 bis 27) die Summe aller Delacortezahlen zu maximieren und zu minimieren. In der Illustration werden die Zahlen, die hohe gemeinsame Teiler mit allen anderen haben, gelb hervorgehoben und blau die Gegenteiligen. http://www.azspcs.net/Contest/DelacorteNumbers der Link zum Contest.

Während andere Hiker im Oberhalbstein bereits die Wintersaison mit Schneeschuhen eröffnet haben, suchten wir mildere Temperaturen oberhalb des Nebelmeeres. Der Bericht der kleinen Exkursion ist hier

Das ist der entsprechende Hikr-Bericht

 hier