Durchmesser eins

Alle denkbaren 2-dimensionalen konvexen Formen mit Durchmesser eins (d.h. zwei Punkte in jeder Form sind maximal um eins entfernt voneinander) sollen von einer Form mit minimaler Fläche bedeckt werden. Wie sieht diese Form aus? Dieses von Lebesgue formulierte Problem des „universal covering“ ist schon alt, hat aber immer noch keine endgültige Antwort gefunden. Die Aufgabe wird sehr anregend im Blog „Azimuth“von John Baez präsentiert (hier  ). Die abdeckende Fläche muss mindestens 0.832 gross sein, wie Brass&Sharifi zeigen. Ein Kreis mit Durchmesser eins hat die Fläche 0.785. In ihrem Beweis spielt eine Form eine Rolle, die die konvexe Hülle von einem Kreis, einem Dreieck und einem Pentagon in geeigneter Position und Drehung ist. Diese habe ich in einer Postscript Datei gefasst, sodass die Zeichnung beliebig vergrösserbar ist. Ich habe sie dabei auch lateralsymmetrisch gemacht. Die Idee der Bilateralsymmetrie wurde auch von Gibbs geäussert, der jetzt 2014 eine ganz neue Arbeit mit neuen Rekorden geschrieben hat (hier ). Das letzte Bild unten zeigt seine asymmetrische Ueberdeckung (Gibbs 2014).

Hier eine Chronologie für die zwei Begrenzungen der gesuchten Fläche.

Untere Grenze (lower bound, die Form muss mindestens so gross sein)

0.785398  Kreis

0.832000  Brass

0.836990  Gibbs

0.843961  Gibbs

0.844075  Gibbs

Obere Grenze (upper bound,  die Form ist höchstens so gross)

0.866025  Pal 1920

0.844137  Sprague 1936, Hansen 1992

0.844112  Gibbs 2014

0.844080  Gibbs (Vermutung)